Question

Los segmentos trazados desde el vértice opuesto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo hasta los puntos que trisecan la hipotenusa tienen longitudes $\sin x$ y $\cos x,$ donde $x$ es un número real tal que $0\lt x\lt\frac\pi2.$ La longitud de la hipotenusa es

Line segments drawn from the vertex opposite the hypotenuse of a right triangle to the points trisecting the hypotenuse have lengths $\sin x$ and $\cos x,$ where $x$ is a real number such that $0\lt x\lt\frac\pi2.$ The length of the hypotenuse is

$\frac43$

$\frac32$

$\frac{3\sqrt5}{5}$

$\frac{2\sqrt5}{3}$

no está determinada de manera única por la información dada

not uniquely determined by the given information

Respuesta: C

Conceptos:triángulo rectángulo geometría analítica Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Coloca la hipotenusa sobre el eje $x$ y asigna coordenadas al vértice del ángulo recto

Put the hypotenuse on the $x$ -axis and assign coordinates to the right-angle vertex

Pista grande:

Suma los cuadrados de las longitudes de los dos segmentos a los puntos de trisección para cancelar la posición horizontal desconocida

Add the squares of the two trisector-segment lengths so the unknown horizontal position cancels

Solución:

Sean $(0,0)$ y $(h,0),$ los extremos de la hipotenusa, y sea $(u,v)$ el vértice del ángulo recto. La condición de ángulo recto da $u^2+v^2=hu.$ La suma de los cuadrados de las distancias a $(\frac{h}{3},0)$ y $(\frac{2h}{3},0)$ es $\begin{aligned} &(u-\frac{h}{3})^2+v^2\\ &\quad+(u-\frac{2h}{3})^2+v^2 =\frac{5h^2}{9}. \end{aligned}$ Esto también es igual a $\sin^2x+\cos^2x=1.$ Por consiguiente, $h=\frac{3}{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the hypotenuse have endpoints $(0,0)$ and $(h,0),$ and let the right-angle vertex be $(u,v).$ The right-angle condition gives $u^2+v^2=hu.$ The squared distances to $(\frac{h}{3},0)$ and $(\frac{2h}{3},0)$ sum to $\begin{aligned} &(u-\frac{h}{3})^2+v^2\\ &\quad+(u-\frac{2h}{3})^2+v^2 =\frac{5h^2}{9}. \end{aligned}$ This also equals $\sin^2x+\cos^2x=1.$ Hence $h=\frac{3}{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}.$

Therefore, the correct answer is C.

1980 AMC 12 Problema 23

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años