Question

En el plano $xy$ , considera la región en forma de L delimitada por segmentos horizontales y verticales, con vértices en $(0,0),$ $(0,3),$ $(3,3),$ $(3,1),$ $(5,1)$ y $(5,0).$ La pendiente de la recta que pasa por el origen y divide exactamente por la mitad el área de esta región es

In the $xy$ -plane, consider the L-shaped region bounded by horizontal and vertical segments with vertices at $(0,0),$ $(0,3),$ $(3,3),$ $(3,1),$ $(5,1)$ and $(5,0).$ The slope of the line through the origin that divides the area of this region exactly in half is

$\frac27$

$\frac13$

$\frac23$

$\frac34$

$\frac79$

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica area bisectors pendiente

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

La región en forma de L tiene área total $11$

The L-shaped region has total area $11$

Pista grande:

Para la pendiente buscada $m,$ el área bajo la recta es la extensión de $2$ unidades más un triángulo de base $3$

For the desired slope $m,$ the area below the line is the $2$ -unit extension plus a triangle of base $3$

Solución:

La región tiene área $3\cdot3+2\cdot1=11,$ por lo que cada mitad tiene área $\frac{11}{2}.$ Si la recta es $y=mx,$ la parte bajo ella consta de todo el rectángulo de $2$ unidades desde $x=3$ hasta $x=5,$ junto con un triángulo de base $3$ y altura $3m.$ Por tanto, $2+\frac12(3)(3m)=\frac{11}{2}.$ Esto da $m=\frac{7}{9},$ que efectivamente pertenece al intervalo supuesto. Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The region has area $3\cdot3+2\cdot1=11,$ so each half has area $\frac{11}{2}.$ If the line is $y=mx,$ the part below it consists of the entire $2$ -unit rectangle from $x=3$ to $x=5,$ together with a triangle of base $3$ and height $3m.$ Therefore $2+\frac12(3)(3m)=\frac{11}{2}.$ This gives $m=\frac{7}{9},$ which indeed lies in the assumed range. Thus the correct answer is E.

1994 AMC 12 Problema 23

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años