1983 AMC 12 Problema 23
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23.
En la figura adjunta, los cinco círculos son tangentes consecutivamente entre sí y a las rectas y Si el radio del círculo mayor es y el del menor es entonces el radio del círculo central es
In the adjoining figure the five circles are tangent to one another consecutively and to the lines and If the radius of the largest circle is and that of the smallest one is then the radius of the middle circle is
Respuesta: A
Pista pequeña:
Cada par de círculos tangentes consecutivos tiene la misma forma después de un cambio de escala
Every pair of consecutive tangent circles has the same shape after scaling
Pista grande:
Los radios forman una progresión geométrica, de modo que el cuadrado del radio central es el producto de los extremos
The radii form a geometric sequence, so the middle radius squared is the product of the extremes
Solución:
Los centros se encuentran en la bisectriz del ángulo formado por y La semejanza de la configuración para cualesquiera dos círculos consecutivos muestra que los radios consecutivos tienen una razón constante. Así, los cinco radios forman una progresión geométrica. Si el radio central es la simetría de una progresión geométrica de cinco términos da por lo que
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The centers lie on the angle bisector of and Similarity of the configuration for any two consecutive circles shows that consecutive radii have a constant ratio. Thus the five radii form a geometric sequence. If the middle radius is symmetry of a five-term geometric sequence gives so
Therefore, the correct answer is A.
El Problema 23 en otros años
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