Question

El número $10!$ ( $10$ está escrito en base $10$ ), al escribirse en el sistema de base $12$ , termina exactamente en $k$ ceros. El valor de $k$ es:

The number $10!$ ( $10$ is written in base $10$ ), when written in the base $12$ system, ends in exactly $k$ zeros. The value of $k$ is:

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: D

Conceptos:base numérica ceros finales factorización en primos factorial

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Un cero final en base $12$ aporta un factor $12=2^2\cdot3$

A trailing base- $12$ zero contributes one factor of $12=2^2\cdot3$

Pista grande:

Compara los exponentes de $2$ y $3$ en $10!$

Compare the exponents of $2$ and $3$ in $10!$

Solución:

Los exponentes primos en $10!$ son $\begin{gathered} v_2(10!)=5+2+1=8,\\ v_3(10!)=3+1=4. \end{gathered}$ Cada factor $12=2^2\cdot3$ utiliza dos factores de $2$ y uno de $3.$ Por lo tanto, el número de ceros finales en base $12$ es $\min\left(\left\lfloor\frac82\right\rfloor,4\right)=4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The prime exponents in $10!$ are $\begin{gathered} v_2(10!)=5+2+1=8,\\ v_3(10!)=3+1=4. \end{gathered}$ Each factor of $12=2^2\cdot3$ uses two factors of $2$ and one of $3.$ Hence the number of trailing base- $12$ zeros is $\min\left(\left\lfloor\frac82\right\rfloor,4\right)=4.$

Therefore, the correct answer is D.

1970 AMC 12 Problema 23

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años