¿Para qué números reales no nulos x es (|x-|x||)/(x) un entero positivo?

(E) para ningún número real no nulo x

(C) solo cuando x es un entero par

(D) para todos los números reales no nulos x

1975 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

El valor de $\frac{1}{2-\dfrac{1}{2-\dfrac{1}{2-\frac12}}}$ es

The value of $\frac{1}{2-\dfrac{1}{2-\dfrac{1}{2-\frac12}}}$ is

$\frac34$

$\frac45$

$\frac56$

$\frac67$

$\frac65$

Respuesta: B

Conceptos:fracción orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Evalúa el denominador anidado de adentro hacia afuera

Evaluate the nested denominator from the inside outward

Pista grande:

Los tres valores interiores sucesivos son $\frac32,\frac43,$ y $\frac54$

The three successive inner values are $\frac32,\frac43,$ and $\frac54$

Solución:

Trabajando de adentro hacia afuera, $\begin{aligned} 2-\frac12&=\frac32,\\ 2-\frac1{\frac{3}{2}}&=\frac43,\\ 2-\frac1{\frac{4}{3}}&=\frac54. \end{aligned}$ Por lo tanto, el valor dado es $\frac{1}{\frac{5}{4}}=\frac{4}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Working outward, $\begin{aligned} 2-\frac12&=\frac32,\\ 2-\frac1{\frac{3}{2}}&=\frac43,\\ 2-\frac1{\frac{4}{3}}&=\frac54. \end{aligned}$ The given value is therefore $\frac{1}{\frac{5}{4}}=\frac{4}{5}.$

Therefore, the correct answer is B.

2.

¿Para qué valores reales de $m$ el sistema de ecuaciones $\begin{aligned} y&=mx+3,\\ y&=(2m-1)x+4 \end{aligned}$ tiene al menos una solución real $(x,y)$ ?

For which real values of $m$ are the simultaneous equations $\begin{aligned} y&=mx+3,\\ y&=(2m-1)x+4 \end{aligned}$ satisfied by at least one pair of real numbers $(x,y)?$

todos los $m$

all $m$

todos los $m\ne0$

all $m\ne0$

todos los $m\ne\frac12$

all $m\ne\frac12$

todos los $m\ne1$

all $m\ne1$

ningún valor de $m$

no values of $m$

Respuesta: D

Conceptos:ecuación lineal sistema de ecuaciones pendiente

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Dos rectas no verticales no se cortan solo cuando son paralelas y distintas

Two nonvertical lines fail to meet only when they are parallel and distinct

Pista grande:

Iguala las pendientes $m$ y $2m-1$

Set the slopes $m$ and $2m-1$ equal

Solución:

Las rectas no se cortan únicamente si $m=2m-1,$ lo que da $m=1.$ Sus intersecciones con el eje $y$ son $3$ y $4,$ así que para ese valor son rectas paralelas distintas. Cualquier otro $m$ produce una intersección.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The lines fail to intersect only if $m=2m-1,$ which gives $m=1.$ Their $y$ -intercepts are $3$ and $4,$ so at that value they are distinct parallel lines. Every other $m$ gives one intersection.

Therefore, the correct answer is D.

3.

¿Cuáles de las siguientes desigualdades se cumplen para todos los números reales $a,$ $b,$ $c,$ $x,$ $y,$ $z$ que satisfacen $x\lt a,$ $y\lt b,$ y $z\lt c$ ?

I. $xy+yz+zx\lt ab+bc+ca$

II. $x^2+y^2+z^2\lt a^2+b^2+c^2$

III. $xyz\lt abc$

Which of the following inequalities are satisfied for all real numbers $a,$ $b,$ $c,$ $x,$ $y,$ $z$ which satisfy $x\lt a,$ $y\lt b,$ and $z\lt c?$

I. $xy+yz+zx\lt ab+bc+ca$

II. $x^2+y^2+z^2\lt a^2+b^2+c^2$

III. $xyz\lt abc$

No se cumple ninguna.

None are satisfied.

Solo $\mathrm{I}$

$\mathrm{I}$ only

Solo $\mathrm{II}$

$\mathrm{II}$ only

Solo $\mathrm{III}$

$\mathrm{III}$ only

Se cumplen todas.

All are satisfied.

Respuesta: A

Conceptos:desigualdad contraejemplo

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Las variables son reales, por lo que aumentar un número no necesariamente aumenta su cuadrado ni sus productos

The variables are real, so increasing a number need not increase its square or its products

Pista grande:

Prueba $a=b=1,\ c=-1,$ y $x=y=0,\ z=-10$

Try $a=b=1,\ c=-1,$ $x=y=0,\ z=-10$

Solución:

Toma $a=b=1,\ c=-1,$ y $x=y=0,\ z=-10.$ Se cumplen las tres desigualdades requeridas entre las variables. Sin embargo, I se convierte en $0\lt-1,$ II en $100\lt3,$ y III en $0\lt-1,$ todas falsas. Por tanto, ninguna es verdadera en todos los casos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Take $a=b=1,\ c=-1,$ and $x=y=0,\ z=-10.$ The required three coordinate inequalities hold. But I becomes $0\lt-1,$ II becomes $100\lt3,$ and III becomes $0\lt-1,$ all false. Thus none is universally true.

Therefore, the correct answer is A.

4.

Si el lado de un cuadrado es la diagonal de un segundo cuadrado, ¿cuál es la razón entre el área del primero y el área del segundo?

If the side of one square is the diagonal of a second square, what is the ratio of the area of the first square to the area of the second?

$2$

$\sqrt2$

$\frac12$

$2\sqrt2$

$4$

Respuesta: A

Conceptos:cuadrado (geometría)diagonal razón de áreas

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Si el lado del primer cuadrado mide $s,$ entonces la diagonal del segundo mide $s$

If the first side is $s,$ then the second square has diagonal $s$

Pista grande:

Un cuadrado con diagonal $s$ tiene área $\frac{s^2}{2}$

A square with diagonal $s$ has area $\frac{s^2}{2}$

Solución:

Sea $s$ el lado del primer cuadrado. El segundo tiene diagonal $s,$ así que su lado es $\frac{s}{\sqrt2}$ y su área es $\frac{s^2}{2}.$ La razón es $\frac{s^2}{\frac{s^2}{2}}=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the first square have side $s.$ The second has diagonal $s,$ so its side is $\frac{s}{\sqrt2}$ and its area is $\frac{s^2}{2}.$ The ratio is $\frac{s^2}{\frac{s^2}{2}}=2.$

Therefore, the correct answer is A.

5.

El polinomio $(x+y)^9$ se desarrolla en potencias decrecientes de $x.$ El segundo y el tercer término tienen el mismo valor al evaluarlos en $x=p$ y $y=q,$ donde $p$ y $q$ son números positivos cuya suma es uno. ¿Cuál es el valor de $p$ ?

The polynomial $(x+y)^9$ is expanded in decreasing powers of $x.$ The second and third terms have equal values when evaluated at $x=p$ and $y=q,$ where $p$ and $q$ are positive numbers whose sum is one. What is the value of $p?$

$\frac15$

$\frac45$

$\frac14$

$\frac34$

$\frac89$

Respuesta: B

Conceptos:teorema del binomio ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Escribe explícitamente el segundo y el tercer término del desarrollo binomial

Write the second and third binomial terms explicitly

Pista grande:

Tras cancelar los factores positivos comunes, combina $p=4q$ con $p+q=1$

After canceling common positive factors, combine $p=4q$ with $p+q=1$

Solución:

Los términos son $9p^8q$ y $36p^7q^2.$ Su igualdad, junto con $p,q\gt0,$ da $p=4q.$ Como $p+q=1,$ obtenemos $5q=1$ y $p=\frac{4}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The terms are $9p^8q$ and $36p^7q^2.$ Their equality, with $p,q\gt0,$ gives $p=4q.$ Since $p+q=1,$ we get $5q=1$ and $p=\frac{4}{5}.$

Therefore, the correct answer is B.

6.

La suma de los primeros ochenta enteros positivos pares menos la suma de los primeros ochenta enteros positivos impares es

The sum of the first eighty positive odd integers subtracted from the sum of the first eighty positive even integers is

$0$

$20$

$40$

$60$

$80$

Respuesta: E

Conceptos:sucesión aritmética emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Empareja el $k$ -ésimo número par con el $k$ -ésimo número impar

Pair the $k$ th even number with the $k$ th odd number

Pista grande:

Cada diferencia $2k-(2k-1)$ tiene el mismo valor

Each difference $2k-(2k-1)$ is the same

Solución:

La diferencia pedida es $\begin{aligned} &(2-1)+(4-3)+\cdots\\ &\qquad +(160-159). \end{aligned}$ Es la suma de $80$ unos, por lo tanto es $80.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The desired difference is $\begin{aligned} &(2-1)+(4-3)+\cdots\\ &\qquad +(160-159). \end{aligned}$ It is the sum of $80$ ones, hence $80.$

Therefore, the correct answer is E.

7.

¿Para qué números reales no nulos $x$ es $\frac{|x-|x||}{x}$ un entero positivo?

For which nonzero real numbers $x$ is $\frac{|x-|x||}{x}$ a positive integer?

solo para $x$ negativo

for negative $x$ only

solo para $x$ positivo

for positive $x$ only

solo cuando $x$ es un entero par

only for $x$ an even integer

para todos los números reales no nulos $x$

for all nonzero real numbers $x$

para ningún número real no nulo $x$

for no nonzero real numbers $x$

Respuesta: E

Conceptos:valor absoluto análisis por casos

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Evalúa el cociente por separado para $x\gt0$ y $x\lt0$

Evaluate the quotient separately for $x\gt0$ and $x\lt0$

Pista grande:

Para $x\lt0,$ sustituye $|x|$ por $-x$ antes de evaluar el valor absoluto exterior

For $x\lt0,$ replace $|x|$ by $-x$ before evaluating the outer absolute value

Solución:

Si $x\gt0,$ el cociente es $0.$ Si $x\lt0,$ entonces $x-|x|=2x\lt0,$ por lo que $|x-|x||=-2x$ y el cociente es $-2.$ Ninguno de los dos valores es un entero positivo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If $x\gt0,$ the quotient is $0.$ If $x\lt0,$ then $x-|x|=2x\lt0,$ so $|x-|x||=-2x$ and the quotient is $-2.$ Neither value is a positive integer.

Therefore, the correct answer is E.

8.

Si la afirmación «Todas las camisas de esta tienda están en oferta» es falsa, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones deben ser verdaderas?

I. Todas las camisas de esta tienda se venden a precio normal.

II. Hay alguna camisa de esta tienda que no está en oferta.

III. Ninguna camisa de esta tienda está en oferta.

IV. No todas las camisas de esta tienda están en oferta.

Nota: Originalmente, la afirmación I decía: Todas las camisas de esta tienda no están en oferta.

If the statement “All shirts in this store are on sale.” is false, then which of the following statements must be true?

I. All shirts in this store are at non-sale prices.

II. There is some shirt in this store not on sale.

III. No shirt in this store is on sale.

IV. Not all shirts in this store are on sale.

Note: Originally, statement I read: All shirts in this store are not on sale.

Solo $\mathrm{II}$

$\mathrm{II}$ only

Solo $\mathrm{IV}$

$\mathrm{IV}$ only

Solo $\mathrm{I}$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{I}$ and $\mathrm{III}$ only

Solo $\mathrm{II}$ y $\mathrm{IV}$

$\mathrm{II}$ and $\mathrm{IV}$ only

Solo $\mathrm{I},$ $\mathrm{II}$ y $\mathrm{IV}$

$\mathrm{I},$ $\mathrm{II}$ and $\mathrm{IV}$ only

Respuesta: D

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Negar «todas» afirma que existe un contraejemplo

Negating “all” asserts the existence of a counterexample

Pista grande:

Que la afirmación sea falsa no significa que ninguna camisa esté en oferta

The false statement does not say that every shirt fails to be on sale

Solución:

La negación de «Todas las camisas están en oferta» es «Alguna camisa no está en oferta», que corresponde a II y está expresada de manera equivalente en IV. Las afirmaciones I y III sostienen algo más fuerte, que ninguna camisa está en oferta, lo cual no se deduce necesariamente.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The negation of “Every shirt is on sale” is “Some shirt is not on sale,” which is II and is equivalently phrased by IV. Statements I and III make the stronger claim that no shirt is on sale, which need not follow.

Therefore, the correct answer is D.

9.

Sean $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ y $b_1,$ $b_2,$ $\ldots$ progresiones aritméticas tales que $a_1=25,$ $b_1=75,$ y $a_{100}+b_{100}=100.$ Halla la suma de los primeros cien términos de la progresión $a_1+b_1,$ $a_2+b_2,$ $\ldots.$

Let $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ and $b_1,$ $b_2,$ $\ldots$ be arithmetic progressions such that $a_1=25,$ $b_1=75,$ and $a_{100}+b_{100}=100.$ Find the sum of the first one hundred terms of the progression $a_1+b_1,$ $a_2+b_2,$ $\ldots.$

$0$

$100$

$10{,}000$

$505{,}000$

no hay suficiente información para resolver el problema

not enough information given to solve the problem

Respuesta: C

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

La suma término a término de dos progresiones aritméticas también es aritmética

The termwise sum of two arithmetic progressions is arithmetic

Pista grande:

Su primer término y su centésimo término son ambos $100$

Its first and hundredth terms are both $100$

Solución:

Sea $c_i=a_i+b_i.$ Esta es una progresión aritmética con $c_1=25+75=100$ y $c_{100}=100.$ Como los términos de los extremos son iguales, la diferencia común es $0,$ así que los $100$ términos son iguales a $100.$ Su suma es $10{,}000.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $c_i=a_i+b_i.$ This is an arithmetic progression with $c_1=25+75=100$ and $c_{100}=100.$ Equal endpoint terms force its common difference to be $0,$ so all $100$ terms equal $100.$ Their sum is $10{,}000.$

Therefore, the correct answer is C.

10.

La suma de los dígitos en base diez de $\left(10^{4n^2+8}+1\right)^2,$ donde $n$ es un entero positivo, es

The sum of the digits in base ten of $\left(10^{4n^2+8}+1\right)^2,$ where $n$ is a positive integer, is

$4$

$4n$

$2+2n$

$4n^2$

$n^2+n+2$

Respuesta: A

Conceptos:valor posicional exponente teorema del binomio

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Haz $k=4n^2+8$ y eleva $10^k+1$ al cuadrado

Set $k=4n^2+8$ and square $10^k+1$

Pista grande:

Los tres dígitos no nulos aparecen en posiciones distintas, por lo que no hay llevadas

The three nonzero digits occur in distinct places, so there are no carries

Solución:

Para $k=4n^2+8,$ $(10^k+1)^2=10^{2k}+2\cdot10^k+1.$ Sus únicos dígitos no nulos son $1,2,1,$ así que su suma es $4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For $k=4n^2+8,$ $(10^k+1)^2=10^{2k}+2\cdot10^k+1.$ Its only nonzero digits are $1,2,1,$ so their sum is $4.$

Therefore, the correct answer is A.

11.

Sea $P$ un punto interior del círculo $K$ distinto del centro de $K.$ Se trazan todas las cuerdas de $K$ que pasan por $P$ y se determinan sus puntos medios. El lugar geométrico de estos puntos medios es

Let $P$ be an interior point of circle $K$ other than the center of $K.$ Form all chords of $K$ which pass through $P,$ and determine their midpoints. The locus of these midpoints is

un círculo al que le falta un punto

a circle with one point deleted

un círculo si la distancia de $P$ al centro de $K$ es menor que la mitad del radio de $K;$ en caso contrario, un arco circular de menos de $360^\circ$

a circle if the distance from $P$ to the center of $K$ is less than one half the radius of $K;$ otherwise a circular arc of less than $360^\circ$

un semicírculo al que le falta un punto

a semicircle with one point deleted

un semicírculo

a semicircle

un círculo

a circle

Respuesta: E

Conceptos:círculo cuerda punto medio

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Une un punto medio $M$ de una cuerda con el centro $O$ del círculo

Join a chord midpoint $M$ to the circle’s center $O$

Pista grande:

Como $OM$ es perpendicular a la cuerda que pasa por $P,$ $\angle OMP=90^\circ$

Since $OM$ is perpendicular to the chord through $P,$ $\angle OMP=90^\circ$

Solución:

Si $M$ es el punto medio de una cuerda y $O$ es el centro, entonces $OM$ es perpendicular a la cuerda, de modo que $\angle OMP=90^\circ$ salvo cuando $M=O.$ Así, $M$ pertenece al círculo de diámetro $OP.$ Recíprocamente, cada punto $M$ de ese círculo que no sea un extremo satisface $PM\perp OM,$ por lo que la recta $PM$ determina una cuerda de $K$ cuyo punto medio es $M.$ El extremo $M=P$ produce la cuerda que pasa por $P$ y es perpendicular a $OP,$ mientras que $M=O$ produce el diámetro que pasa por $O$ y $P.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If $M$ is a chord midpoint and $O$ is the center, then $OM$ is perpendicular to the chord, so $\angle OMP=90^\circ$ unless $M=O.$ Thus $M$ lies on the circle with diameter $OP.$ Conversely, each nonendpoint $M$ on that circle gives $PM\perp OM,$ so the line $PM$ cuts a chord of $K$ whose midpoint is $M.$ The endpoint $M=P$ gives the chord through $P$ perpendicular to $OP,$ while $M=O$ gives the diameter through $O$ and $P.$

Therefore, the correct answer is E.

12.

Si $a\ne b,$ $a^3-b^3=19x^3,$ y $a-b=x,$ ¿cuál de las siguientes conclusiones es correcta?

If $a\ne b,$ $a^3-b^3=19x^3,$ and $a-b=x,$ which of the following conclusions is correct?

$a=3x$

$a=3x$ o $a=-2x$

$a=3x$ or $a=-2x$

$a=-3x$ o $a=2x$

$a=-3x$ or $a=2x$

$a=3x$ o $a=2x$

$a=3x$ or $a=2x$

$a=2x$

Respuesta: B

Conceptos:suma y diferencia de cubos factorización cuadrática

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

Factoriza $a^3-b^3$ y usa $x=a-b\ne0$

Factor $a^3-b^3$ and use $x=a-b\ne0$

Pista grande:

Sustituye $b=a-x$ después de dividir entre $x$

Substitute $b=a-x$ after dividing by $x$

Solución:

Al factorizar y dividir entre $x\ne0$ se obtiene $a^2+ab+b^2=19x^2.$ Con $b=a-x,$ $3a^2-3ax+x^2=19x^2,$ por lo que $\begin{aligned} a^2-ax-6x^2&=0,\\ (a-3x)(a+2x)&=0. \end{aligned}$ Por tanto, $a=3x$ o $a=-2x.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Factoring and dividing by $x\ne0$ gives $a^2+ab+b^2=19x^2.$ With $b=a-x,$ $3a^2-3ax+x^2=19x^2,$ so $\begin{aligned} a^2-ax-6x^2&=0,\\ (a-3x)(a+2x)&=0. \end{aligned}$ Hence $a=3x$ or $a=-2x.$

Therefore, the correct answer is B.

13.

La ecuación $x^6-3x^5-6x^3-x+8=0$ tiene

The equation $x^6-3x^5-6x^3-x+8=0$ has

ninguna raíz real

no real roots

exactamente dos raíces negativas distintas

exactly two distinct negative roots

exactamente una raíz negativa

exactly one negative root

ninguna raíz negativa, pero al menos una raíz positiva

no negative roots, but at least one positive root

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: D

Conceptos:polinomio desigualdad

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Determina el signo de cada término cuando $x\lt0$

Determine the sign of every term when $x\lt0$

Pista grande:

Compara los valores del polinomio en $0$ y $1$

Compare the polynomial’s values at $0$ and $1$

Solución:

Para $x\lt0,$ cada uno de $x^6,-3x^5,-6x^3,-x,$ y $8$ es positivo, así que no hay raíces negativas. En $x=0$ el polinomio vale $8,$ mientras que en $x=1$ vale $-1.$ Por continuidad, existe una raíz positiva entre $0$ y $1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For $x\lt0,$ each of $x^6,-3x^5,-6x^3,-x,$ and $8$ is positive, so there is no negative root. At $x=0$ the polynomial is $8,$ while at $x=1$ it is $-1.$ Continuity therefore gives a positive root between $0$ and $1.$

Therefore, the correct answer is D.

14.

Si «cosín» es «tal» cuando «quién» es «es» y «tal más tal» es «es» $\cdot$ «tal», ¿cuánto vale «quién» $\cdot$ «cosín» cuando «quién» es «tal», «tal más tal» es «tal» $\cdot$ «tal» y «es» vale dos («cosín», «quién», «es» y «tal» son variables que toman valores positivos)?

If the whatsis is so when the whosis is is and the so and so is is $\cdot$ so, what is the whosis $\cdot$ whatsis when the whosis is so, the so and so is so $\cdot$ so, and the is is two (whatsis, whosis, is and so are variables taking positive values)?

quién $\cdot$ es $\cdot$ tal

whosis $\cdot$ is $\cdot$ so

quién

whosis

es

is

tal

so

tal más tal

so and so

Respuesta: E

Conceptos:sustitución manipulación algebraica deducción lógica

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Sustituye «cosín», «quién», «es» y «tal» por $W,H,I,S$

Replace whatsis, whosis, is, and so by $W,H,I,S$

Pista grande:

La condición $S+S=IS$ y la positividad obligan a que $I=2$

The condition $S+S=IS$ and positivity force $I=2$

Solución:

La primera condición dice que $H=I$ y $2S=IS$ implican $W=S.$ Como $S\gt0,$ la segunda ecuación da $I=2.$ En el caso pedido, $H=S,\ 2S=S^2,$ e $I=2,$ así que la positividad da $H=I=S=2.$ Por tanto, $W=S=2$ y $HW=4=S+S.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The first condition says that $H=I$ and $2S=IS$ imply $W=S.$ Since $S\gt0,$ the latter equation gives $I=2.$ In the requested case, $H=S,\ 2S=S^2,$ and $I=2,$ so positivity gives $H=I=S=2.$ Hence $W=S=2$ and $HW=4=S+S.$

Therefore, the correct answer is E.

15.

En la sucesión $1,$ $3,$ $2,$ $\ldots,$ cada término después de los dos primeros es igual al término anterior menos el que precede a este. La suma de los primeros cien términos de la sucesión es

In the sequence of numbers $1,$ $3,$ $2,$ $\ldots,$ each term after the first two is equal to the term preceding it minus the term preceding that. The sum of the first one hundred terms of the sequence is

$5$

$4$

$2$

$1$

$-1$

Respuesta: A

Conceptos:recursión reconocimiento de patrones sumatoria

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Genera términos hasta que reaparezca el par inicial $1,3$

Generate terms until the initial pair $1,3$ returns

Pista grande:

El período de seis términos tiene suma $0$

The six-term period has sum $0$

Solución:

La sucesión comienza $1,3,2,-1,-3,-2,1,3,\ldots$ y se repite cada $6$ términos, con suma $0$ en cada período. Los primeros $96$ términos suman $0,$ y los últimos cuatro suman $1+3+2-1=5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The sequence begins $1,3,2,-1,-3,-2,1,3,\ldots$ and repeats every $6$ terms, with period sum $0.$ The first $96$ terms sum to $0,$ and the last four sum to $1+3+2-1=5.$

Therefore, the correct answer is A.

16.

Si el primer término de una serie geométrica infinita es un entero positivo, la razón común es el recíproco de un entero positivo y la suma de la serie es $3,$ entonces la suma de los dos primeros términos es

If the first term of an infinite geometric series is a positive integer, the common ratio is the reciprocal of a positive integer, and the sum of the series is $3,$ then the sum of the first two terms of the series is

$\frac13$

$\frac23$

$\frac83$

$2$

$\frac92$

Respuesta: C

Conceptos:sucesión geométrica divisibilidad sumatoria

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Escribe el primer término como $a$ y la razón como $\frac{1}{n}$

Write the first term as $a$ and the ratio as $\frac{1}{n}$

Pista grande:

A partir de $\frac{a}{1-\frac{1}{n}}=3,$ usa que $a,n$ son enteros positivos y $n\gt1$

From $\frac{a}{1-\frac{1}{n}}=3,$ use that $a,n$ are positive integers and $n\gt1$

Solución:

Sean $a$ el primer término y $\frac{1}{n}$ la razón. La convergencia da $n\gt1,$ y $\frac{a}{1-\frac{1}{n}}=3,\qquad a=3-\frac3n.$ Así, $n$ divide a $3,$ por lo que $n=3$ y $a=2.$ Los dos primeros términos suman $2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the first term be $a$ and the ratio $\frac{1}{n}.$ Convergence gives $n\gt1,$ and $\frac{a}{1-\frac{1}{n}}=3,\qquad a=3-\frac3n.$ Thus $n$ divides $3,$ so $n=3$ and $a=2.$ The first two terms sum to $2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}.$

Therefore, the correct answer is C.

17.

Un hombre puede desplazarse al trabajo en tren o en autobús. Si va al trabajo en tren por la mañana, vuelve a casa en autobús por la tarde; y si vuelve a casa en tren por la tarde, tomó el autobús por la mañana. Durante un total de $x$ días laborables, tomó el autobús para ir al trabajo por la mañana $8$ veces, volvió a casa en autobús por la tarde $15$ veces y viajó en tren, ya fuera por la mañana o por la tarde, $9$ veces. Halla $x.$

A man can commute either by train or by bus. If he goes to work on the train in the morning, he comes home on the bus in the afternoon; and if he comes home in the afternoon on the train, he took the bus in the morning. During a total of $x$ working days, the man took the bus to work in the morning $8$ times, came home by bus in the afternoon $15$ times, and commuted by train (either morning or afternoon) $9$ times. Find $x.$

$19$

$18$

$17$

$16$

no hay suficiente información para resolver el problema

not enough information given to solve the problem

Respuesta: D

Conceptos:conteo básico

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

En cada día laborable hay exactamente dos trayectos de ida o vuelta

There are exactly two one-way trips on every working day

Pista grande:

Cuenta juntos todos los trayectos en autobús y en tren

Count all bus trips and all train trips together

Solución:

Hubo $8+15=23$ trayectos en autobús y $9$ en tren, por lo que hubo $32$ trayectos en total. Como cada día laborable aporta dos trayectos, $2x=32$ y $x=16.$ Las afirmaciones condicionales son compatibles, pero no hacen falta para este recuento.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

There were $8+15=23$ bus trips and $9$ train trips, hence $32$ one-way trips in all. Since each working day contributes two trips, $2x=32$ and $x=16.$ The conditional statements are consistent but not needed for this count.

Therefore, the correct answer is D.

18.

Se elige al azar un entero positivo $N$ cuya representación en base diez tiene tres dígitos, y cada número de tres dígitos tiene la misma probabilidad de ser elegido. La probabilidad de que $\log_2N$ sea un entero es

A positive integer $N$ with three digits in its base ten representation is chosen at random, with each three-digit number having an equal chance of being chosen. The probability that $\log_2N$ is an integer is

$0$

$\frac3{899}$

$\frac1{225}$

$\frac1{300}$

$\frac1{450}$

Respuesta: D

Conceptos:probabilidad básica potencia de 2 conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Que el logaritmo en base $2$ sea entero significa que $N$ es una potencia de $2$

An integral base- $2$ logarithm means $N$ is a power of $2$

Pista grande:

Enumera las potencias de $2$ desde $100$ hasta $999$

List the powers of $2$ from $100$ through $999$

Solución:

Hay $999-100+1=900$ enteros de tres dígitos. Las tres potencias de $2$ entre ellos son $128,256,$ y $512.$ Por tanto, la probabilidad es $\frac{3}{900}=\frac{1}{300}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

There are $999-100+1=900$ three-digit integers. The three powers of $2$ among them are $128,256,$ and $512.$ Thus the probability is $\frac{3}{900}=\frac{1}{300}.$

Therefore, the correct answer is D.

19.

¿Qué números positivos $x$ satisfacen la ecuación $(\log_3x)(\log_x5)=\log_35$ ?

Which positive numbers $x$ satisfy the equation $(\log_3x)(\log_x5)=\log_35?$

solo $3$ y $5$

$3$ and $5$ only

solo $3,$ $5$ y $15$

$3,$ $5$ and $15$ only

solo los números de la forma $5^n\cdot3^m,$ donde $n$ y $m$ son enteros positivos

only numbers of the form $5^n\cdot3^m,$ where $n$ and $m$ are positive integers

todos los $x\ne1$ positivos

all positive $x\ne1$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Aplica la fórmula de cambio de base a los dos logaritmos de la izquierda

Apply the change-of-base formula to both logarithms on the left

Pista grande:

Después de cancelar, recuerda qué base positiva no está permitida

After cancellation, remember which positive base is forbidden

Solución:

Para $x\gt0,\ x\ne1,$ el cambio de base convierte el lado izquierdo en $\frac{\log x}{\log3}\cdot\frac{\log5}{\log x}.$ Al cancelar $\log x$ queda $\frac{\log5}{\log3}=\log_35.$ La expresión no está definida en $x=1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For $x\gt0,\ x\ne1,$ change of base makes the left side $\frac{\log x}{\log3}\cdot\frac{\log5}{\log x}.$ Canceling $\log x$ leaves $\frac{\log5}{\log3}=\log_35.$ The expression is undefined at $x=1.$

Therefore, the correct answer is D.

20.

En la figura adjunta, el triángulo $ABC$ cumple $AB=4$ y $AC=8.$ Si $M$ es el punto medio de $BC$ y $AM=3,$ ¿cuál es la longitud de $BC$ ?

In the adjoining figure triangle $ABC$ is such that $AB=4$ and $AC=8.$ If $M$ is the midpoint of $BC$ and $AM=3,$ what is the length of $BC?$

$2\sqrt{26}$

$2\sqrt{31}$

$9$

$4+2\sqrt{13}$

no hay suficiente información para resolver el problema

not enough information given to solve the problem

Respuesta: B

Conceptos:mediana (geometría)Teorema de Stewart

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Usa la relación entre los tres lados de un triángulo y una mediana

Use the relation between a triangle’s three sides and a median

Pista grande:

El teorema de Apolonio da $AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$

Apollonius’ theorem gives $AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$

Solución:

Sea $BM=CM=x,$ de modo que $BC=2x.$ Por el teorema de Apolonio, $4^2+8^2=2(3^2+x^2).$ Por tanto, $80=18+2x^2,\ x^2=31,$ y $BC=2\sqrt{31}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $BM=CM=x,$ so $BC=2x.$ By Apollonius’ theorem, $4^2+8^2=2(3^2+x^2).$ Hence $80=18+2x^2,\ x^2=31,$ and $BC=2\sqrt{31}.$

Therefore, the correct answer is B.

21.

Supón que $f(x)$ está definida para todos los números reales $x;$ $f(x)\gt0$ para todo $x;$ y $f(a)f(b)=f(a+b)$ para todos $a$ y $b.$ ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I. $f(0)=1$

II. $f(-a)=\frac{1}{f(a)}$ para todo $a$

III. $f(a)=\sqrt[3]{f(3a)}$ para todo $a$

IV. $f(b)\gt f(a)$ si $b\gt a$

Suppose $f(x)$ is defined for all real numbers $x;$ $f(x)\gt0$ for all $x;$ and $f(a)f(b)=f(a+b)$ for all $a$ and $b.$ Which of the following statements are true?

I. $f(0)=1$

II. $f(-a)=\frac{1}{f(a)}$ for all $a$

III. $f(a)=\sqrt[3]{f(3a)}$ for all $a$

IV. $f(b)\gt f(a)$ if $b\gt a$

Solo $\mathrm{III}$ y $\mathrm{IV}$

$\mathrm{III}$ and $\mathrm{IV}$ only

Solo $\mathrm{I},$ $\mathrm{III}$ y $\mathrm{IV}$

$\mathrm{I},$ $\mathrm{III}$ and $\mathrm{IV}$ only

Solo $\mathrm{I},$ $\mathrm{II}$ y $\mathrm{IV}$

$\mathrm{I},$ $\mathrm{II}$ and $\mathrm{IV}$ only

Solo $\mathrm{I},$ $\mathrm{II}$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{I},$ $\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$ only

Todas son verdaderas.

All are true.

Respuesta: D

Conceptos:ecuación funcional sustitución contraejemplo

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Sustituye $a=0,\ b=-a,$ y después suma $a$ tres veces

Substitute $a=0,\ b=-a,$ and then add $a$ three times

Pista grande:

Pon a prueba la afirmación sobre monotonía con la función constante $f(x)=1$

Test the monotonicity claim with the constant function $f(x)=1$

Solución:

Al tomar $a=0$ y usar la positividad se obtiene $f(0)=1.$ Al tomar $b=-a$ se obtiene $f(a)f(-a)=1.$ Además, $f(3a)=f(a)^3,$ así que la positividad permite tomar la raíz cúbica positiva en III. Sin embargo, $f(x)=1$ satisface la ecuación funcional y no es estrictamente creciente, por lo que IV no tiene que cumplirse.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Taking $a=0$ and using positivity gives $f(0)=1.$ Taking $b=-a$ gives $f(a)f(-a)=1.$ Also $f(3a)=f(a)^3,$ so positivity permits the positive cube root in III. But $f(x)=1$ satisfies the functional equation and is not strictly increasing, so IV need not hold.

Therefore, the correct answer is D.

22.

Si $p$ y $q$ son primos y $x^2-px+q=0$ tiene raíces enteras positivas distintas, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I. La diferencia entre las raíces es impar.

II. Al menos una raíz es prima.

III. $p^2-q$ es primo.

IV. $p+q$ es primo.

If $p$ and $q$ are primes and $x^2-px+q=0$ has distinct positive integral roots, then which of the following statements are true?

I. The difference of the roots is odd.

II. At least one root is prime.

III. $p^2-q$ is prime.

IV. $p+q$ is prime.

Solo $\mathrm{I}$

$\mathrm{I}$ only

Solo $\mathrm{II}$

$\mathrm{II}$ only

Solo $\mathrm{II}$ y $\mathrm{III}$

$\mathrm{II}$ and $\mathrm{III}$ only

Solo $\mathrm{I},$ $\mathrm{II}$ y $\mathrm{IV}$

$\mathrm{I},$ $\mathrm{II}$ and $\mathrm{IV}$ only

Todas son verdaderas.

All are true.

Respuesta: E

Conceptos:Fórmulas de Vieta primo factor

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

El producto de las dos raíces enteras positivas es el primo $q$

The product of the two positive integer roots is the prime $q$

Pista grande:

Las raíces deben ser $1,q,$ y el hecho de que su suma sea prima obliga a que $q=2$

The roots must be $1,q,$ and their prime sum forces $q=2$

Solución:

Las raíces enteras positivas tienen producto $q,$ así que son $1$ y $q.$ Su suma es $p=q+1,$ que es prima solo cuando $q=2,$ lo que da $p=3$ y las raíces $1,2.$ Su diferencia es $1,$ una raíz es prima, $p^2-q=7,$ y $p+q=5;$ por tanto, las cuatro afirmaciones se cumplen.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The positive integer roots have product $q,$ so they are $1$ and $q.$ Their sum is $p=q+1,$ which is prime only when $q=2,$ giving $p=3$ and roots $1,2.$ Their difference is $1,$ one root is prime, $p^2-q=7,$ and $p+q=5;$ therefore all four statements hold.

Therefore, the correct answer is E.

23.

En la figura adjunta, $AB$ y $BC$ son lados adyacentes del cuadrado $ABCD;$ $M$ es el punto medio de $AB;$ $N$ es el punto medio de $BC;$ y $AN$ y $CM$ se cortan en $O.$ La razón entre el área de $AOCD$ y el área de $ABCD$ es

In the adjoining figure $AB$ and $BC$ are adjacent sides of square $ABCD;$ $M$ is the midpoint of $AB;$ $N$ is the midpoint of $BC;$ and $AN$ and $CM$ intersect at $O.$ The ratio of the area of $AOCD$ to the area of $ABCD$ is

$\frac56$

$\frac34$

$\frac23$

$\frac{\sqrt3}{2}$

$\frac{\sqrt3-1}{2}$

Respuesta: C

Conceptos:baricentro cuadrado (geometría)descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

En el triángulo $ABC,$ tanto $AN$ como $CM$ son medianas

In triangle $ABC,$ both $AN$ and $CM$ are medians

Pista grande:

Asigna coordenadas al cuadrado y localiza el baricentro $O$

Use coordinates for the square and locate the centroid $O$

Solución:

Toma $A=(0,0),B=(1,0),$ $C=(1,1),D=(0,1).$ Como $O$ es el baricentro del triángulo $ABC,$ $O=(\frac{2}{3},\frac{1}{3}).$ Los triángulos $AOB$ y $COB$ tienen cada uno área $\frac{1}{6}.$ Al quitarlos del cuadrado unitario queda $[AOCD]=1-\frac16-\frac16=\frac23.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Take $A=(0,0),B=(1,0),$ $C=(1,1),D=(0,1).$ Since $O$ is the centroid of triangle $ABC,$ $O=(\frac{2}{3},\frac{1}{3}).$ Triangles $AOB$ and $COB$ each have area $\frac{1}{6}.$ Removing them from the unit square leaves $[AOCD]=1-\frac16-\frac16=\frac23.$

Therefore, the correct answer is C.

24.

En el triángulo $ABC,$ $\angle C=\theta$ y $\angle B=2\theta,$ donde $0^\circ\lt\theta\lt60^\circ.$ El círculo con centro $A$ y radio $AB$ corta a $AC$ en $D$ y corta a $BC,$ prolongado si es necesario, en $B$ y en $E$ ( $E$ puede coincidir con $B$ ). Entonces $EC=AD$

In triangle $ABC,$ $\angle C=\theta$ and $\angle B=2\theta,$ where $0^\circ\lt\theta\lt60^\circ.$ The circle with center $A$ and radius $AB$ intersects $AC$ at $D$ and intersects $BC,$ extended if necessary, at $B$ and at $E$ ( $E$ may coincide with $B$ ). Then $EC=AD$

para ningún valor de $\theta$

for no values of $\theta$

solo si $\theta=45^\circ$

only if $\theta=45^\circ$

solo si $0^\circ\lt\theta\le45^\circ$

only if $0^\circ\lt\theta\le45^\circ$

solo si $45^\circ\le\theta\lt60^\circ$

only if $45^\circ\le\theta\lt60^\circ$

para todo $\theta$ tal que $0^\circ\lt\theta\lt60^\circ$

for all $\theta$ such that $0^\circ\lt\theta\lt60^\circ$

Respuesta: E

Conceptos:círculo triángulo isósceles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 2220

Pista pequeña:

Como $AB=AE=AD,$ estudia primero el triángulo isósceles $ABE$

Because $AB=AE=AD,$ first study the isosceles triangle $ABE$

Pista grande:

Ya sea que $E$ esté en $BC$ o en su prolongación, el seguimiento de ángulos da $\angle EAC=\angle ECA=\theta$

Whether $E$ lies on $BC$ or its extension, angle chasing gives $\angle EAC=\angle ECA=\theta$

Solución:

Como $AB=AE,$ el triángulo $ABE$ es isósceles. Para $0^\circ\lt\theta\lt45^\circ,$ $E$ está entre $B,C$ ; el teorema del ángulo exterior en el triángulo $AEC$ da $2\theta=\angle EAC+\theta,$ por lo que $\angle EAC=\theta.$ Para $45^\circ\lt\theta\lt60^\circ,$ $E$ está más allá de $B$ ; entonces $\angle AEC=180^\circ-2\theta,$ y por tanto $\begin{aligned} \angle EAC &=180^\circ\\ &\quad-(180^\circ-2\theta)-\theta\\ &=\theta. \end{aligned}$ Cuando $\theta=45^\circ,\ E=B$ y la conclusión es inmediata. Así, el triángulo $AEC$ siempre es isósceles, por lo que $EC=EA=AD.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $AB=AE,$ triangle $ABE$ is isosceles. For $0^\circ\lt\theta\lt45^\circ,$ $E$ lies between $B,C$ ; the exterior-angle theorem in triangle $AEC$ gives $2\theta=\angle EAC+\theta,$ so $\angle EAC=\theta.$ For $45^\circ\lt\theta\lt60^\circ,$ $E$ lies beyond $B$ ; then $\angle AEC=180^\circ-2\theta,$ hence $\begin{aligned} \angle EAC &=180^\circ\\ &\quad-(180^\circ-2\theta)-\theta\\ &=\theta. \end{aligned}$ At $\theta=45^\circ,\ E=B$ and the conclusion is immediate. Thus triangle $AEC$ is always isosceles, so $EC=EA=AD.$

Therefore, the correct answer is E.

25.

Una mujer, su hermano, su hijo y su hija son jugadores de ajedrez; todas las relaciones son biológicas. El gemelo del peor jugador, que es uno de los cuatro jugadores, y el mejor jugador son de sexos opuestos. El peor jugador y el mejor tienen la misma edad. ¿Quién es el peor jugador?

A woman, her brother, her son and her daughter are chess players (all relations by birth). The worst player’s twin (who is one of the four players) and the best player are of opposite sex. The worst player and the best player are the same age. Who is the worst player?

la mujer

the woman

su hijo

her son

su hermano

her brother

su hija

her daughter

Ninguna solución es compatible con la información dada.

No solution is consistent with the given information.

Respuesta: B

Conceptos:deducción lógica análisis por casos edades

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Enumera las únicas parejas de gemelos de la misma generación posibles entre las cuatro personas

List the only possible same-generation twin pairs among the four people

Pista grande:

Si el hijo es el peor, su gemela es la hija y el mejor puede ser el hermano de la mujer

If the son is worst, his twin is the daughter and the best can be the brother

Solución:

Si el hijo es el peor, la hija puede ser su gemela y el hermano de la mujer puede ser el mejor; el hijo y ese hermano pueden tener la misma edad, así que todas las condiciones pueden cumplirse. Si la mujer es la peor, su hermano es su gemelo y la hija debe ser la mejor, pero madre e hija no pueden tener la misma edad. Si el hermano es el peor, la mujer es su gemela y el hijo debe ser el mejor, de nuevo imposible por la edad. Si la hija es la peor, su gemelo es el hijo y la mujer debe ser la mejor, también imposible por la edad. Por tanto, solo el hijo funciona.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the son is worst, the daughter can be his twin and the brother can be best; the son and brother may have the same age, so all conditions can hold. If the woman is worst, the brother is her twin and the daughter must be best, but mother and daughter cannot be the same age. If the brother is worst, the woman is his twin and the son must be best, again impossible in age. If the daughter is worst, her twin is the son and the woman must be best, also impossible in age. Thus only the son works.

Therefore, the correct answer is B.

26.

En el triángulo acutángulo $ABC,$ la bisectriz de $\angle A$ corta al lado $BC$ en $D.$ El círculo con centro $B$ y radio $BD$ corta al lado $AB$ en $M;$ y el círculo con centro $C$ y radio $CD$ corta al lado $AC$ en $N.$ Entonces siempre es cierto que

In acute triangle $ABC$ the bisector of $\angle A$ meets side $BC$ at $D.$ The circle with center $B$ and radius $BD$ intersects side $AB$ at $M;$ and the circle with center $C$ and radius $CD$ intersects side $AC$ at $N.$ Then it is always true that

$\begin{aligned}\angle CND+\angle BMD\\{}-\angle DAC=120^\circ\end{aligned}$

$AMDN$ es un trapecio

$AMDN$ is a trapezoid

$BC$ es paralelo a $MN$

$BC$ is parallel to $MN$

$AM-AN=\frac{3(DB-DC)}2$

$AB-AC=\frac{3(DB-DC)}2$

Respuesta: C

Conceptos:teorema de la bisectriz razón y proporción rectas paralelas

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Usa $BM=BD,\ CN=CD,$ y el teorema de la bisectriz

Use $BM=BD,\ CN=CD,$ and the angle bisector theorem

Pista grande:

Demuestra que $\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}$ y aplica el recíproco del teorema de proporcionalidad

Show that $\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}$ and apply the converse of the side-splitter theorem

Solución:

El teorema de la bisectriz da $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}.$ Como $BM=BD$ y $CN=CD,$ tenemos $\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}.$ Por tanto, $M$ y $N$ dividen $AB$ y $AC$ proporcionalmente desde $B$ y $C,$ así que el recíproco del teorema de proporcionalidad da $MN\parallel BC.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The angle bisector theorem gives $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}.$ Since $BM=BD$ and $CN=CD,$ we have $\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}.$ Therefore $M$ and $N$ divide $AB$ and $AC$ proportionally from $B$ and $C,$ so the converse of the side-splitter theorem gives $MN\parallel BC.$

Therefore, the correct answer is C.

27.

Si $p,$ $q,$ y $r$ son raíces distintas de $x^3-x^2+x-2=0,$ entonces $p^3+q^3+r^3$ es igual a

If $p,$ $q,$ and $r$ are distinct roots of $x^3-x^2+x-2=0,$ then $p^3+q^3+r^3$ equals

$-1$

$1$

$3$

$5$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: E

Conceptos:polinomio Fórmulas de Vieta Sumas de Newton

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Usa las fórmulas de Vieta para hallar $p+q+r$ y $pq+pr+qr$

Use Vieta to find $p+q+r$ and $pq+pr+qr$

Pista grande:

Primero calcula $p^2+q^2+r^2,$ y después suma las tres ecuaciones que satisfacen las raíces

First compute $p^2+q^2+r^2,$ then add the three equations satisfied by the roots

Solución:

Las fórmulas de Vieta dan $p+q+r=1$ y $pq+pr+qr=1.$ Por tanto, $\begin{aligned} p^2+q^2+r^2 &=(p+q+r)^2\\ &\quad-2(pq+pr+qr)\\ &=-1. \end{aligned}$ Cada raíz $t$ satisface $t^3=t^2-t+2.$ Al sumar para las tres raíces se obtiene $p^3+q^3+r^3=-1-1+6=4.$ Este valor no aparece entre las opciones A–D.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Vieta gives $p+q+r=1$ and $pq+pr+qr=1.$ Thus $\begin{aligned} p^2+q^2+r^2 &=(p+q+r)^2\\ &\quad-2(pq+pr+qr)\\ &=-1. \end{aligned}$ Each root $t$ satisfies $t^3=t^2-t+2.$ Summing over the three roots yields $p^3+q^3+r^3=-1-1+6=4.$ This is not among choices A–D.

Therefore, the correct answer is E.

28.

En el triángulo $ABC$ de la figura adjunta, $M$ es el punto medio del lado $BC,$ $AB=12,$ y $AC=16.$ Los puntos $E$ y $F$ se toman sobre $AC$ y $AB,$ respectivamente, y las rectas $EF$ y $AM$ se cortan en $G.$ Si $AE=2AF,$ entonces $\frac{EG}{GF}$ es igual a

In triangle $ABC$ shown in the adjoining figure, $M$ is the midpoint of side $BC,$ $AB=12,$ and $AC=16.$ Points $E$ and $F$ are taken on $AC$ and $AB,$ respectively, and lines $EF$ and $AM$ intersect at $G.$ If $AE=2AF,$ then $\frac{EG}{GF}$ equals

$\frac32$

$\frac43$

$\frac54$

$\frac65$

no hay suficiente información para resolver el problema

not enough information given to solve the problem

Respuesta: A

Conceptos:vector mediana (geometría)razón y proporción

Nivel de dificultad: 2180

Pista pequeña:

Representa $B,C$ mediante los vectores $\mathbf b,\mathbf c$ con origen en $A$

Represent $B,C$ by vectors $\mathbf b,\mathbf c$ from $A$

Pista grande:

Si $F=t\mathbf b,$ entonces $E=\frac32t\mathbf c;$ iguala los coeficientes de $\mathbf b,\mathbf c$ de un punto que está en $EF$ y en $AM$

If $F=t\mathbf b,$ then $E=\frac32t\mathbf c;$ equate the $\mathbf b,\mathbf c$ coefficients of a point on $EF$ and on $AM$

Solución:

Coloca $A$ en el origen y escribe los vectores de posición de $B,C$ como $\mathbf b,\mathbf c.$ Si $F=t\mathbf b,$ entonces $AF=12t$ y $AE=24t,$ por lo que $E=(\frac{3t}{2})\mathbf c.$ Escribe $G=(1-u)F+uE.$ Como $G$ también está sobre la mediana $AM,$ sus coeficientes de $\mathbf b$ y $\mathbf c$ son iguales: $(1-u)t=\frac32ut.$ De aquí, $u=\frac{2}{5}.$ A lo largo de $FE,\frac{FG}{FE}=\frac{2}{5}$ y $\frac{EG}{FE}=\frac{3}{5},$ por lo que $\frac{EG}{GF}=\frac{3}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Put $A$ at the origin and write the position vectors of $B,C$ as $\mathbf b,\mathbf c.$ If $F=t\mathbf b,$ then $AF=12t$ and $AE=24t,$ so $E=(\frac{3t}{2})\mathbf c.$ Write $G=(1-u)F+uE.$ Because $G$ also lies on the median $AM,$ its $\mathbf b$ and $\mathbf c$ coefficients are equal: $(1-u)t=\frac32ut.$ Hence $u=\frac{2}{5}.$ Along $FE,\frac{FG}{FE}=\frac{2}{5}$ and $\frac{EG}{FE}=\frac{3}{5},$ so $\frac{EG}{GF}=\frac{3}{2}.$

Therefore, the correct answer is A.

29.

¿Cuál es el menor entero mayor que $(\sqrt3+\sqrt2)^6$ ?

What is the smallest integer larger than $(\sqrt3+\sqrt2)^6?$

$972$

$971$

$970$

$969$

$968$

Respuesta: C

Conceptos:radical teorema del binomio funciones piso y techo

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Empareja la expresión con su conjugada $(\sqrt3-\sqrt2)^6$

Pair the expression with its conjugate $(\sqrt3-\sqrt2)^6$

Pista grande:

Su suma es un entero, mientras que el término conjugado está estrictamente entre $0$ y $1$

Their sum is an integer, while the conjugate term lies strictly between $0$ and $1$

Solución:

Sean $\alpha=\sqrt3+\sqrt2$ y $\beta=\sqrt3-\sqrt2.$ Al sumar sus sextas potencias se cancelan todos los términos radicales impares: $\begin{aligned} \alpha^6+\beta^6 &=2\bigl(3^3+15(3^2)(2)\\ &\qquad+15(3)(2^2)+2^3\bigr)\\ &=970. \end{aligned}$ Como $0\lt\beta\lt1,$ tenemos $969\lt\alpha^6=970-\beta^6\lt970.$ Por tanto, el menor entero mayor es $970.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $\alpha=\sqrt3+\sqrt2$ and $\beta=\sqrt3-\sqrt2.$ Adding their sixth powers cancels all odd radical terms: $\begin{aligned} \alpha^6+\beta^6 &=2\bigl(3^3+15(3^2)(2)\\ &\qquad+15(3)(2^2)+2^3\bigr)\\ &=970. \end{aligned}$ Since $0\lt\beta\lt1,$ we have $969\lt\alpha^6=970-\beta^6\lt970.$ Thus the smallest larger integer is $970.$

Therefore, the correct answer is C.

30.

Sea $x=\cos36^\circ-\cos72^\circ.$ Entonces $x$ es igual a

Let $x=\cos36^\circ-\cos72^\circ.$ Then $x$ equals

$\frac13$

$\frac12$

$3-\sqrt6$

$2\sqrt3-3$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:identidad trigonométrica manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Sean $w=\cos36^\circ$ y $y=\cos72^\circ$

Let $w=\cos36^\circ$ and $y=\cos72^\circ$

Pista grande:

Usa $y=2w^2-1$ y $w=1-2y^2$ , y después suma las ecuaciones

Use $y=2w^2-1$ and $w=1-2y^2$ , then add the equations

Solución:

Sean $w=\cos36^\circ$ y $y=\cos72^\circ.$ Las identidades de ángulo doble dan $y=2w^2-1,\qquad w=1-2y^2.$ Al sumarlas se obtiene $\begin{aligned} w+y&=2(w^2-y^2)\\ &=2(w-y)(w+y). \end{aligned}$ Como $w+y\ne0,$ al dividir resulta $w-y=\frac{1}{2}.$ Por tanto, $x=\frac{1}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Set $w=\cos36^\circ$ and $y=\cos72^\circ.$ The double-angle identities give $y=2w^2-1,\qquad w=1-2y^2.$ Adding yields $\begin{aligned} w+y&=2(w^2-y^2)\\ &=2(w-y)(w+y). \end{aligned}$ Since $w+y\ne0,$ division gives $w-y=\frac{1}{2}.$ Thus $x=\frac{1}{2}.$

Therefore, the correct answer is B.

Problemas del 1975 AMC 12

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Pista grande: