Question

El polinomio $(x+y)^9$ se desarrolla en potencias decrecientes de $x.$ El segundo y el tercer término tienen el mismo valor al evaluarlos en $x=p$ y $y=q,$ donde $p$ y $q$ son números positivos cuya suma es uno. ¿Cuál es el valor de $p$ ?

The polynomial $(x+y)^9$ is expanded in decreasing powers of $x.$ The second and third terms have equal values when evaluated at $x=p$ and $y=q,$ where $p$ and $q$ are positive numbers whose sum is one. What is the value of $p?$

$\frac15$

$\frac45$

$\frac14$

$\frac34$

$\frac89$

Respuesta: B

Conceptos:teorema del binomio ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Escribe explícitamente el segundo y el tercer término del desarrollo binomial

Write the second and third binomial terms explicitly

Pista grande:

Tras cancelar los factores positivos comunes, combina $p=4q$ con $p+q=1$

After canceling common positive factors, combine $p=4q$ with $p+q=1$

Solución:

Los términos son $9p^8q$ y $36p^7q^2.$ Su igualdad, junto con $p,q\gt0,$ da $p=4q.$ Como $p+q=1,$ obtenemos $5q=1$ y $p=\frac{4}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The terms are $9p^8q$ and $36p^7q^2.$ Their equality, with $p,q\gt0,$ gives $p=4q.$ Since $p+q=1,$ we get $5q=1$ and $p=\frac{4}{5}.$

Therefore, the correct answer is B.

1975 AMC 12 Problema 5

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años