Question

将多项式 $(x+y)^9$ 按 $x$ 的降幂展开。在 $x=p$ 、 $y=q$ 处，展开式的第二项与第三项取值相等，其中 $p$ 、 $q$ 均为正数且和为一。 $p$ 的值是多少？

The polynomial $(x+y)^9$ is expanded in decreasing powers of $x.$ The second and third terms have equal values when evaluated at $x=p$ and $y=q,$ where $p$ and $q$ are positive numbers whose sum is one. What is the value of $p?$

$\frac15$

$\frac45$

$\frac14$

$\frac34$

$\frac89$

答案：B

知识点：二项式定理一次方程

难度评级：1590

小提示：

写出二项式展开中的第二项和第三项

Write the second and third binomial terms explicitly

大提示：

约去公共的正因子后，将 $p=4q$ 与 $p+q=1$ 联立

After canceling common positive factors, combine $p=4q$ with $p+q=1$

解答：

这两项分别为 $9p^8q$ 和 $36p^7q^2$ 。由两者相等且 $p,q\gt0$ ，得 $p=4q$ 。又因 $p+q=1$ ，所以 $5q=1$ ，从而 $p=\frac{4}{5}$ 。

因此，正确答案是 B。

The terms are $9p^8q$ and $36p^7q^2.$ Their equality, with $p,q\gt0,$ gives $p=4q.$ Since $p+q=1,$ we get $5q=1$ and $p=\frac{4}{5}.$

Therefore, the correct answer is B.

1975 AMC 12 第 5 题

答案：B

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 5 题