Question

表达式 $2+\sqrt2+\dfrac1{2+\sqrt2}+\dfrac1{\sqrt2-2}$ 等于：

The expression $2+\sqrt2+\dfrac1{2+\sqrt2}+\dfrac1{\sqrt2-2}$ equals:

$2$

$2-\sqrt2$

$2+\sqrt2$

$2\sqrt2$

$\dfrac{\sqrt2}{2}$

答案：A

知识点：根式分母有理化代数变形

难度评级：1450

小提示：

先将两个倒数项的分母有理化，再相加

Rationalize the two reciprocal terms before adding them

大提示：

两个倒数化简后，其和为 $-\sqrt2$

The two reciprocals simplify to quantities whose sum is $-\sqrt2$

解答：

分母有理化后得到 $\begin{aligned} \frac1{2+\sqrt2}&=\frac{2-\sqrt2}{2},\\ \frac1{\sqrt2-2}&=-\frac{2+\sqrt2}{2} \end{aligned}\text{。}$ 两者之和为 $-\sqrt2$ 。因此整个表达式为 $2+\sqrt2-\sqrt2=2\text{。}$

所以正确答案为 A。

Rationalizing gives $\begin{aligned} \frac1{2+\sqrt2}&=\frac{2-\sqrt2}{2},\\ \frac1{\sqrt2-2}&=-\frac{2+\sqrt2}{2}. \end{aligned}$ Their sum is $-\sqrt2.$ Therefore the whole expression is $2+\sqrt2-\sqrt2=2.$

Thus, the correct answer is A.

1958 AMC 12 第 5 题

答案：A

难度评级：1450

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 5 题