Question

在 $2^{\frac{1}{2}}$ 、 $3^{\frac{1}{3}}$ 、 $8^{\frac{1}{8}}$ 、 $9^{\frac{1}{9}}$ 中，数值最大和第二大的数依次是：

From among $2^{\frac{1}{2}},$ $3^{\frac{1}{3}},$ $8^{\frac{1}{8}},$ $9^{\frac{1}{9}},$ those which have the greatest and the next to the greatest values, in that order, are:

$3^{\frac{1}{3}}$ ， $2^{\frac{1}{2}}$

$3^{\frac{1}{3}},$ $2^{\frac{1}{2}}$

$3^{\frac{1}{3}}$ ， $8^{\frac{1}{8}}$

$3^{\frac{1}{3}},$ $8^{\frac{1}{8}}$

$3^{\frac{1}{3}}$ ， $9^{\frac{1}{9}}$

$3^{\frac{1}{3}},$ $9^{\frac{1}{9}}$

$8^{\frac{1}{8}}$ ， $9^{\frac{1}{9}}$

$8^{\frac{1}{8}},$ $9^{\frac{1}{9}}$

以上皆非

None of these

答案：A

知识点：指数不等式代数变形

难度评级：1740

小提示：

把两个正数提升到同一个幂次来比较

Compare two roots by raising both positive numbers to a common power

大提示：

先比较 $3^{\frac{1}{3}}$ 与 $2^{\frac{1}{2}}$ ，再把 $2^{\frac{1}{2}}$ 与其余各数比较

First compare $3^{\frac{1}{3}}$ with $2^{\frac{1}{2}}$ , then compare $2^{\frac{1}{2}}$ with each remaining number

解答：

取便于比较的相同幂次，可得 $(3^{\frac{1}{3}})^6=9>8=(2^{\frac{1}{2}})^6\text{，}$ $(2^{\frac{1}{2}})^8=16>8=(8^{\frac{1}{8}})^8\text{，}$ 以及 $(2^{\frac{1}{2}})^{18}=512>81=(9^{\frac{1}{9}})^{18}\text{。}$ 因此， $3^{\frac{1}{3}}$ 最大， $2^{\frac{1}{2}}$ 第二大。

因此，正确答案是 A。

Raising to convenient common powers gives $(3^{\frac{1}{3}})^6=9>8=(2^{\frac{1}{2}})^6,$ $(2^{\frac{1}{2}})^8=16>8=(8^{\frac{1}{8}})^8,$ and $(2^{\frac{1}{2}})^{18}=512>81=(9^{\frac{1}{9}})^{18}.$ Thus $3^{\frac{1}{3}}$ is greatest and $2^{\frac{1}{2}}$ is next.

Therefore, the correct answer is A.

1972 AMC 12 第 5 题

答案：A

难度评级：1740

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 5 题