Question

点 $A$ 、 $B$ 、 $Q$ 、 $D$ 和 $C$ 位于图示圆上，弧 $BQ$ 与 $QD$ 的度数分别为 $42^\circ$ 和 $38^\circ$ 。角 $P$ 与 $Q$ 的度数之和是：

Points $A,$ $B,$ $Q,$ $D,$ and $C$ lie on the circle shown, and the measures of arcs $BQ$ and $QD$ are $42^\circ$ and $38^\circ,$ respectively. The sum of the measures of angles $P$ and $Q$ is:

$80^\circ$

$62^\circ$

$40^\circ$

$46^\circ$

以上都不是

None of these

答案：C

知识点：圆圆周角弧导角

难度评级：1780

小提示：

对角 $P$ 使用圆外两割线所成角公式

Use the external-secant formula for angle $P$

大提示：

加上角 $Q$ 后，未知的截弧会相消

Adding angle $Q$ cancels the unknown intercepted arc

解答：

令 $m\overset{\frown}{AC}=u$ 。由圆外两割线所成角公式， $m\angle P=\frac12\left(m\overset{\frown}{BD}-u\right)\text{，}$ 而圆周角定理给出 $m\angle Q=\frac{u}{2}$ 。因此 $\begin{aligned} m\angle P+m\angle Q &=\frac12m\overset{\frown}{BD}\\ &=\frac12(42^\circ+38^\circ)\\ &=40^\circ\text{。} \end{aligned}$

因此，正确答案为 C。

Let $m\overset{\frown}{AC}=u.$ The external-secant formula gives $m\angle P=\frac12\left(m\overset{\frown}{BD}-u\right),$ while the inscribed-angle theorem gives $m\angle Q=\frac{u}{2}.$ Therefore $\begin{aligned} m\angle P+m\angle Q &=\frac12m\overset{\frown}{BD}\\ &=\frac12(42^\circ+38^\circ)\\ &=40^\circ. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

1971 AMC 12 第 5 题

答案：C

难度评级：1780

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 5 题