Question

一个三角形外切于半径为 $r$ 英寸的圆。若三角形的周长为 $P$ 英寸，面积为 $K$ 平方英寸，则 $\frac{P}{K}$ 为：

A triangle is circumscribed about a circle of radius $r$ inches. If the perimeter of the triangle is $P$ inches and the area is $K$ square inches, then $\frac{P}{K}$ is:

与 $r$ 的值无关

independent of the value of $r$

$\dfrac{\sqrt2}{r}$

$\dfrac{2}{\sqrt r}$

$\dfrac2r$

$\dfrac r2$

答案：D

知识点：内切圆、内心与内切圆半径三角形面积周长

难度评级：1440

小提示：

将三角形分成三个高为 $r$ 的小三角形

Split the triangle into three smaller triangles with altitude $r$

大提示：

用半周长 $\frac{P}{2}$ 表示 $K$

Express $K$ using the semiperimeter $\frac{P}{2}$

解答：

连接圆心与三个切点的半径，把三角形分成若干小三角形，它们的总面积为 $K=\frac12r(a+b+c)=\frac{Pr}{2}\text{。}$ 因此 $\frac{P}{K}=\frac{2}{r}$ 。

因此，正确答案是 D。

The three radii to the points of tangency split the triangle into smaller triangles whose total area is $K=\frac12r(a+b+c)=\frac{Pr}{2}.$ Hence $\frac{P}{K}=\frac{2}{r}.$

Therefore, the correct answer is D.

1967 AMC 12 第 5 题

答案：D

难度评级：1440

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 5 题