Question

在坐标平面中，点 $(x_1,y_1)$ 与 $(x_2,y_2)$ 的出租车距离定义为 $|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$ 。有多少个整数坐标点 $P$ ，使得 $P$ 到原点的出租车距离小于或等于 $20$ ？

Let the taxicab distance between points $(x_1,y_1)$ and $(x_2,y_2)$ in the coordinate plane be given by $|x_1-x_2|+|y_1-y_2|.$ For how many points $P$ with integer coordinates is the taxicab distance between $P$ and the origin less than or equal to $20?$

$441$

$761$

$841$

$921$

$924$

答案：C

知识点：格点等差数列

难度评级：1350

小提示：

分别计数每个“菱形” $|x|+|y|=k$ 上的格点

Count the lattice points on each “diamond” $|x|+|y|=k$ separately

大提示：

当 $k\ge1$ 时， $|x|+|y|=k$ 上有 $4k$ 个点，另外还有原点

There are $4k$ points with $|x|+|y|=k$ for $k\ge1,$ plus the origin

解答：

对每个 $k\ge1$ ，集合 $|x|+|y|=k$ 恰有 $4k$ 个格点，而 $k=0$ 时只有原点一个点。

总数为 $\begin{aligned} &1+\sum_{k=1}^{20}4k=1+4\cdot\frac{20\cdot21}{2} \\ &=1+840=841 \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

For each $k\ge1,$ the set $|x|+|y|=k$ contains exactly $4k$ lattice points, and $k=0$ gives the single origin.

The total is $\begin{aligned} &1+\sum_{k=1}^{20}4k=1+4\cdot\frac{20\cdot21}{2} \\ &=1+840=841. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2022 AMC 12A 第 5 题

答案：C

难度评级：1350

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 5 题