Question

正整数 $x$ 和 $y$ 满足方程 $57x + 22y = 400$ 。求 $x + y$ 的最小可能值。

Positive integers $x$ and $y$ satisfy the equation $57x + 22y = 400.$ What is the least possible value of $x + y?$

$10$

$11$

$13$

$14$

$15$

答案：E

知识点：丢番图方程模运算

难度评级：1290

小提示：

将 $57x + 22y = 400$ 对 $22$ 取模，以确定 $x$ 的可能形式。

Reduce $57x + 22y = 400$ modulo $22$ to pin down $x$

大提示：

因为 $x$ 为正整数且 $57x \lt 400$ ，所以只需检查很少几个 $x$ 的值。

Since $x$ is positive and $57x \lt 400,$ only a few values of $x$ are possible

解答：

对 $22$ 取模，方程变为 $13x \equiv 4$ ，所以 $x \equiv 2 \pmod{22}$ 。又 $57x \lt 400$ ，正整数解只能有 $x = 2$ 。代回得 $22y = 286$ ，所以 $y = 13$ 。因此 $x + y = 15$ 。

所以正确答案是 E。

Modulo $22,$ the equation gives $13x \equiv 4,$ so $x \equiv 2 \pmod{22}.$ With $57x \lt 400,$ the only option is $x = 2,$ which gives $22y = 286,$ so $y = 13.$ Then $x + y = 15.$

Thus, the correct answer is E.

2025 AMC 12B 第 5 题

答案：E

难度评级：1290

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 5 题