Question

Emmy 对 Max 说：“我今天订了 $36$ 件数学俱乐部卫衣。”Max 问：“每件多少钱？”Emmy 回答：“给你一个提示：总价是 $\$\underline{A}\,\underline{B}\,\underline{B}.\underline{B}\,\underline{A}$ ，其中 $A$ 和 $B$ 是数字，且 $A \neq 0$ 。”停顿片刻后，Max 说：“这价格真不错。”求 $A + B$ 。

Emmy says to Max, “I ordered $36$ math club sweatshirts today.” Max asks, “How much did each shirt cost?” Emmy responds, “I’ll give you a hint. The total cost was $\$\underline{A}\,\underline{B}\,\underline{B}.\underline{B}\,\underline{A},$ where $A$ and $B$ are digits and $A \neq 0.$ ” After a pause, Max says, “That was a good price.” What is $A + B?$

$7$

$8$

$11$

$14$

$15$

答案：C

知识点：位值整除性模运算

难度评级：1390

小提示：

以美分计，总价为 $10001A + 1110B$ 且必须能被 $36$ 整除。

In cents the total is $10001A + 1110B,$ and it must be divisible by $36$

大提示：

对 $36$ 取模得 $7A + 6B \equiv 0$ ，再检查满足 $A \neq 0$ 的数字解。

Reduce modulo $36$ to get $7A + 6B \equiv 0,$ then test digits with $A \neq 0$

解答：

以美分为单位，总额为 $10000A + 1110B + A$ $= 10001A + 1110B$ ，它必须是 $36$ 的倍数。因为 $10001 \equiv 29$ 且 $1110 \equiv 30 \pmod{36}$ ，条件为 $29A + 30B \equiv 0$ ，即 $7A + 6B \equiv 0 \pmod{36}$ 。再对 $6$ 取模，得到 $A\equiv0\pmod6$ ，所以唯一可能的非零数字是 $A=6$ 。此时 $42+6B$ 只有当数字 $B=5$ 时才能被 $36$ 整除。确实， $\$655.56 = 36 \times \$18.21$ ，所以 $A+B=11$ 。

因此，正确答案是 C。

The total in cents is $10000A + 1110B + A$ $= 10001A + 1110B,$ which must be a multiple of $36.$ Since $10001 \equiv 29$ and $1110 \equiv 30 \pmod{36},$ the condition is $29A + 30B \equiv 0,$ i.e. $7A + 6B \equiv 0 \pmod{36}.$ Reducing once more modulo $6$ gives $A\equiv0\pmod6,$ so the only possible nonzero digit is $A=6.$ Then $42+6B$ is divisible by $36$ only for the digit $B=5.$ Indeed $\$655.56 = 36 \times \$18.21,$ so $A+B=11.$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12B 第 6 题

答案：C

难度评级：1390

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 6 题