Question

在一个给定平面中，点 $A$ 和 $B$ 相距 $10$ 个单位。平面中有多少个点 $C$ ，使得 $\triangle ABC$ 的周长为 $50$ 个单位，且 $\triangle ABC$ 的面积为 $100$ 平方单位？

In a given plane, points $A$ and $B$ are $10$ units apart. How many points $C$ are there in the plane such that the perimeter of $\triangle ABC$ is $50$ units and the area of $\triangle ABC$ is $100$ square units?

$0$

$2$

$4$

$8$

无穷多个

infinitely many

答案：A

知识点：椭圆极限情形界定

难度评级：1420

小提示：

固定 $AB$ 后，周长条件使 $C$ 在以 $A$ 和 $B$ 为焦点的椭圆上

With $AB$ fixed, the perimeter condition puts $C$ on an ellipse with foci $A$ and $B$

大提示：

底边 $10$ 面积 $100$ 需要高 $20$ ；与椭圆的最大高度比较

Area $100$ with base $10$ needs height $20;$ compare that to the ellipse’s greatest height

解答：

周长条件给出 $CA+CB=50-10=40$ ，所以 $C$ 在以 $A,B$ 为焦点、长轴 $2a=40$ 的椭圆上。因此 $a=20$ 且 $c=5$ ，所以半短轴为 $b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{375}\approx19.36\text{。}$

若以 $AB=10$ 为底且面积为 $100$ ，则从 $C$ 到底边的高必须为 $\dfrac{2\cdot100}{10}=20$ 。但椭圆上的最大可能高度是 $b\approx19.36\lt20$ ，所以不存在这样的 $C$ 。

所以正确答案是 A。

The perimeter condition gives $CA+CB=50-10=40,$ so $C$ lies on an ellipse with foci $A,B$ and major axis $2a=40.$ Thus $a=20$ and $c=5,$ so the semi-minor axis is $b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{375}\approx19.36.$

For area $100$ with base $AB=10,$ the height from $C$ must be $\dfrac{2\cdot100}{10}=20.$ But the greatest possible height on the ellipse is $b\approx19.36\lt20,$ so no such $C$ exists.

Thus, A is the correct answer.

2019 AMC 12B 第 6 题

答案：A

难度评级：1420

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 6 题