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2011 AMC 12B 第 6 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

6.

从点 AA 向一个圆作两条切线。切点 BB 与 CC 将圆分成的两段弧长之比为 2:32:3。∠BAC\angle BAC 的度数是多少？

Two tangents to a circle are drawn from a point A.A. The points of contact BB and CC divide the circle into arcs with lengths in the ratio 2:3.2:3. What is the degree measure of ∠BAC?\angle BAC?

2424

3030

3636

4848

6060

答案：C
知识点：切线弧导角
难度评级：1240
小提示：

两段弧按 2:32:3 分割 360∘360^\circ。

The two arcs split 360∘360^\circ in the ratio 2:32:3

大提示：

切线与切点处的半径成 90∘90^\circ；使用四边形 ABOCABOC

A tangent meets the radius at its point of contact at 90∘90^\circ; use quadrilateral ABOCABOC

解答：

设 OO 为圆心。两段弧分别为 2x2x 和 3x3x，且 2x+3x=360∘2x+3x=360^\circ，所以 x=72∘x=72^\circ，小弧 BCBC 对应的圆心角为 ∠BOC=144∘\angle BOC=144^\circ。

到切点 BB 和 CC 的半径垂直于切线，所以 ∠ABO=∠ACO=90∘\angle ABO=\angle ACO=90^\circ。在四边形 ABOCABOC 中，∠BAC=360∘−144∘−90∘−90∘=36∘。 \begin{gathered} \angle BAC=360^\circ-144^\circ-90^\circ \\ {}-90^\circ=36^\circ \end{gathered}\text{。}

所以正确答案是 C。

Let OO be the center. The arcs measure 2x2x and 3x3x with 2x+3x=360∘,2x+3x=360^\circ, so x=72∘x=72^\circ and the minor arc BCBC gives central angle ∠BOC=144∘.\angle BOC=144^\circ.

The radii to BB and CC are perpendicular to the tangents, so ∠ABO=∠ACO=90∘.\angle ABO=\angle ACO=90^\circ. In quadrilateral ABOC,ABOC, ∠BAC=360∘−144∘−90∘−90∘=36∘. \begin{gathered} \angle BAC=360^\circ-144^\circ-90^\circ \\ {}-90^\circ=36^\circ. \end{gathered}

Thus, the correct answer is C.

第 5 题#5
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第 7 题#7

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