Question

美国国债预计到 $2033$ 年将达到 $5 \cdot 10^{13}$ 美元。这个美元数用 $5$ 进制数字写出时有多少位？（本题中取 $\log_{10} 5$ 近似为 $0.7$ 已足够。）

The national debt of the United States is on track to reach $5 \cdot 10^{13}$ dollars by $2033.$ How many digits does this number of dollars have when written as a numeral in base $5?$ (The approximation of $\log_{10} 5$ as $0.7$ is sufficient for this problem.)

$18$

$20$

$22$

$24$

$26$

答案：B

知识点：对数进制

难度评级：1370

小提示：

$N$ 的 $5$ 进制位数是 $\lfloor \log_5 N \rfloor + 1$ 。

The number of base- $5$ digits of $N$ is $\lfloor \log_5 N \rfloor + 1$

大提示：

使用 $\log_5 N = \dfrac{\log_{10} N}{\log_{10} 5}$ ，其中 $\log_{10} 5 = 0.7$ ，且 $\log_{10}(5\cdot 10^{13}) = 13 + \log_{10} 5$ 。

Use $\log_5 N = \dfrac{\log_{10} N}{\log_{10} 5}$ with $\log_{10} 5 = 0.7$ and $\log_{10}(5\cdot 10^{13}) = 13 + \log_{10} 5$

解答：

$N$ 的 $5$ 进制位数是 $\lfloor \log_5 N \rfloor + 1$ 。对于 $N = 5 \cdot 10^{13}$ ，有 $\log_{10} N = 13 + \log_{10} 5 = 13.7\text{。}$ 换底可得 $\log_5 N$ $= \dfrac{13.7}{\log_{10} 5}$ $= \dfrac{13.7}{0.7}$ $= 19.57\ldots$ 。

因此位数为 $\lfloor 19.57 \rfloor + 1 = 19 + 1 = 20$ 。

所以正确答案是 B。

The number of digits of $N$ in base $5$ is $\lfloor \log_5 N \rfloor + 1.$ With $N = 5 \cdot 10^{13},$ $\log_{10} N = 13 + \log_{10} 5 = 13.7.$ Converting bases, $\log_5 N$ $= \dfrac{13.7}{\log_{10} 5}$ $= \dfrac{13.7}{0.7}$ $= 19.57\ldots$

Thus the number of digits is $\lfloor 19.57 \rfloor + 1 = 19 + 1 = 20.$

Thus, the correct answer is B.

2024 AMC 12B 第 6 题

答案：B

难度评级：1370

小提示：

大提示：

解答：

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