Question

考虑下列 $100$ 个集合，每个集合有 $10$ 个元素：

$\{1,2,3,\ldots,10\}\text{，}$ $\{11,12,13,\ldots,20\}\text{，}$ $\{21,22,23,\ldots,30\}\text{，}$ $\vdots$ $\{991,992,993,\ldots,1000\}\text{。}$

其中有多少个集合恰好含有两个 $7$ 的倍数？

Consider the following $100$ sets of $10$ elements each:

$\{1,2,3,\ldots,10\},$ $\{11,12,13,\ldots,20\},$ $\{21,22,23,\ldots,30\},$ $\vdots$ $\{991,992,993,\ldots,1000\}.$

How many of these sets contain exactly two multiples of $7?$

$40$

$42$

$43$

$49$

$50$

答案：B

知识点：倍数区间内整数计数

难度评级：1350

小提示：

一个含 $10$ 个连续整数的区间含有一个或两个 $7$ 的倍数。

A block of $10$ consecutive integers contains either one or two multiples of $7$

大提示：

先数 $\{1,\ldots,1000\}$ 中 $7$ 的倍数总数，再设有 $x$ 个区间含两个、 $100-x$ 个区间含一个。

Count the total multiples of $7$ in $\{1,\ldots,1000\},$ then let $x$ blocks have two and $100-x$ have one

解答：

从 $1$ 到 $1000$ 中有 $\left\lfloor \tfrac{1000}{7} \right\rfloor = 142$ 个 $7$ 的倍数。由于 $10 \gt 7$ ，每个长度为 $10$ 的连续整数区间含有一个或两个 $7$ 的倍数。

设有 $x$ 个区间含两个倍数，其余 $100 - x$ 个区间各含一个，则 $2x + (100 - x) = 142$ ，所以 $x = 42$ 。

所以正确答案是 B。

Among $1$ to $1000$ there are $\left\lfloor \tfrac{1000}{7} \right\rfloor = 142$ multiples of $7.$ Because $10 \gt 7,$ each block of $10$ consecutive integers contains one or two multiples of $7.$

If $x$ blocks contain two and the remaining $100 - x$ contain one, then $2x + (100 - x) = 142,$ so $x = 42.$

Thus, the correct answer is B.

2022 AMC 12B 第 6 题

答案：B

难度评级：1350

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 6 题