Question

如下图所示，点 $E$ 位于直线 $CD$ 所确定的、与点 $A$ 相反的半平面内，且 $\angle CDE = 110^\circ$ 。点 $F$ 在 $\overline{AD}$ 上，使得 $DE = DF$ ，并且 $ABCD$ 是正方形。 $\angle AFE$ 的度数是多少？

As shown in the figure below, point $E$ lies on the opposite half-plane determined by line $CD$ from point $A$ so that $\angle CDE = 110^\circ.$ Point $F$ lies on $\overline{AD}$ so that $DE = DF,$ and $ABCD$ is a square. What is the degree measure of $\angle AFE?$

$160$

$164$

$166$

$170$

$174$

答案：D

知识点：导角等腰三角形正方形（几何）

难度评级：1350

小提示：

在点 $D$ 处，三角形的这个角等于 $360^\circ$ 减去 $\angle ADC+\angle CDE$

Around point $D,$ the triangle’s angle is $360^\circ$ minus $\angle ADC+\angle CDE$

大提示：

三角形 $DFE$ 是等腰三角形，且 $DF = DE$ ，所以两个底角相等

Triangle $DFE$ is isosceles with $DF = DE,$ so its two base angles are equal

解答：

因为 $ABCD$ 是正方形， $\angle ADC = 90^\circ$ 。又因为 $E$ 与 $A$ 在直线 $CD$ 的两侧，射线 $DE$ 越过了 $DC$ ，所以三角形 $DFE$ 在 $D$ 处的角（其中 $F$ 在 $\overline{AD}$ 上）为 $\angle FDE = 360^\circ$ $- (\angle ADC + \angle CDE)$ $= 360^\circ - (90^\circ + 110^\circ)$ $= 160^\circ$ 。

因为 $DF = DE$ ，三角形 $DFE$ 是等腰三角形，其底角 $\angle DFE = \tfrac{180^\circ - 160^\circ}{2} = 10^\circ$ 。

因为 $A$ 、 $F$ 、 $D$ 共线，所以 $\angle AFE = 180^\circ - \angle DFE = 170^\circ$ 。

所以正确答案是 D。

Because $ABCD$ is a square, $\angle ADC = 90^\circ.$ Since $E$ and $A$ lie on opposite sides of line $CD,$ ray $DE$ is swung past $DC,$ so the angle of triangle $DFE$ at $D$ (with $F$ on $\overline{AD}$ ) is $\angle FDE = 360^\circ$ $- (\angle ADC + \angle CDE)$ $= 360^\circ - (90^\circ + 110^\circ)$ $= 160^\circ.$

Since $DF = DE,$ triangle $DFE$ is isosceles with base angles $\angle DFE = \tfrac{180^\circ - 160^\circ}{2} = 10^\circ.$

As $A,$ $F,$ $D$ are collinear, $\angle AFE = 180^\circ - \angle DFE = 170^\circ.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Fall 第 6 题

答案：D

难度评级：1350

小提示：

大提示：

解答：

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