2009 AMC 12A 第 6 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

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2009 AMC 12A 第 6 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

6.

假设 $P = 2^m$ 且 $Q = 3^n$ 。对每一对整数 $(m, n)$ ，下列哪一个都等于 $12^{mn}$ ？

Suppose that $P = 2^m$ and $Q = 3^n.$ Which of the following is equal to $12^{mn}$ for every pair of integers $(m, n)?$

$P^2 Q$

$P^n Q^m$

$P^n Q^{2m}$

$P^{2m} Q^n$

$P^{2n} Q^m$

答案：E

知识点：指数换元法

难度评级：1290

小提示：

写成 $12 = 2^2 \cdot 3$ 。

Write $12 = 2^2 \cdot 3$

大提示：

那么 $12^{mn} = 2^{2mn} \cdot 3^{mn}$ $= (2^m)^{2n}(3^n)^m$ 。

Then $12^{mn} = 2^{2mn} \cdot 3^{mn}$ $= (2^m)^{2n}(3^n)^m$

解答：

因为 $12 = 2^2 \cdot 3$ ， $\begin{aligned} 12^{mn} &= 2^{2mn} \cdot 3^{mn} \\ &= (2^m)^{2n}(3^n)^m \\ &= P^{2n}Q^m \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Since $12 = 2^2 \cdot 3,$ $\begin{aligned} 12^{mn} &= 2^{2mn} \cdot 3^{mn} \\ &= (2^m)^{2n}(3^n)^m \\ &= P^{2n}Q^m. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

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