Question

$\triangle ABC$ 的三个顶点都在抛物线 $y=x^2$ 上，其中 $A$ 在原点， $\overline{BC}$ 平行于 $x$ 轴。三角形面积为 $64$ 。 $BC$ 的长度是多少？

All three vertices of $\triangle ABC$ lie on the parabola defined by $y=x^2,$ with $A$ at the origin and $\overline{BC}$ parallel to the $x$ -axis. The area of the triangle is $64.$ What is the length of $BC?$

$4$

$6$

$8$

$10$

$16$

答案：C

知识点：抛物线三角形面积坐标几何

难度评级：1350

小提示：

设上方一个顶点为 $(x,x^2)$ ；由对称性，另一个为 $(-x,x^2)$ 。

Let a top vertex be $(x,x^2);$ by symmetry the other is $(-x,x^2)$

大提示：

底边 $BC=2x$ ，高为 $x^2$ ，所以 $\tfrac12(2x)(x^2)=64$ 。

The base is $BC=2x$ and the height is $x^2,$ so $\tfrac12(2x)(x^2)=64$

解答：

设第一象限中的顶点为 $(x,x^2)$ 。由对称性，底边长为 $BC=2x$ ，高为 $x^2$ ，所以面积满足 $\tfrac12\cdot2x\cdot x^2=x^3=64$ 。因此 $x=4$ ，从而 $BC=2x=8$ 。

所以正确答案是 C。

Let the vertex in the first quadrant be $(x,x^2).$ By symmetry the base is $BC=2x$ and the height is $x^2,$ so $\tfrac12\cdot2x\cdot x^2=x^3=64.$ Thus $x=4$ and $BC=2x=8.$

Thus, the correct answer is C.

2016 AMC 12B 第 6 题

答案：C

难度评级：1350

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 6 题