正数 x 满足不等式 √ x\lt2x 的充要条件是

1980 AMC 12 第 6 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1980 AMC 12 第 6 题

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正数 $x$ 满足不等式 $\sqrt x\lt2x$ 的充要条件是

A positive number $x$ satisfies the inequality $\sqrt x\lt2x$ if and only if

$x\gt\frac14$

$x\gt2$

$x\gt4$

$x\lt\frac14$

$x\lt4$

答案：A

知识点：不等式根式

难度评级：1180

小提示：

利用不等式两边均为正数这一事实

Use the fact that both sides are positive

大提示：

在平方或解出 $x$ 之前，先把两边除以 $\sqrt x$

Divide by $\sqrt x$ before squaring or isolating $x$

解答：

因为 $x\gt0$ ，两边除以 $\sqrt x$ 不改变不等号方向： $1\lt2\sqrt x\text{。}$ 因此 $\sqrt x\gt\frac{1}{2}$ ，等价于 $x\gt\frac{1}{4}$ 。

因此，正确答案是 A。

Because $x\gt0,$ division by $\sqrt x$ preserves the inequality: $1\lt2\sqrt x.$ Thus $\sqrt x\gt\frac{1}{2},$ which is equivalent to $x\gt\frac{1}{4}.$

Therefore, the correct answer is A.

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