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1981 AMC 12 第 6 题

先试着解答 1981 AMC 12 第 6 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 1981 AMC 12 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

6.

若 xx−1=y2+2y−1y2+2y−2\frac{x}{x-1}=\frac{y^2+2y-1}{y^2+2y-2}，则 xx 等于

If xx−1=y2+2y−1y2+2y−2,\frac{x}{x-1}=\frac{y^2+2y-1}{y^2+2y-2}, then xx equals

y2+2y−1y^2+2y-1

y2+2y−2y^2+2y-2

y2+2y+2y^2+2y+2

y2+2y+1y^2+2y+1

−y2−2y+1-y^2-2y+1

答案：A
知识点：分式方程代数变形
难度评级：1210
小提示：

注意每个分母都比分子小一

Notice that each denominator is one less than its numerator

大提示：

令 A=y2+2y−1A=y^2+2y-1，比较 xx−1\frac{x}{x-1} 与 AA−1\frac A{A-1}

Set A=y2+2y−1A=y^2+2y-1 and compare xx−1\frac{x}{x-1} with AA−1\frac A{A-1}

解答：

令 A=y2+2y−1A=y^2+2y-1。原方程变为 xx−1=AA−1\frac{x}{x-1}=\frac{A}{A-1}。交叉相乘得 xA−x=Ax−AxA-x=Ax-A，所以 x=A=y2+2y−1x=A=y^2+2y-1。

所以正确答案是 A。

Let A=y2+2y−1.A=y^2+2y-1. The equation becomes xx−1=AA−1.\frac{x}{x-1}=\frac{A}{A-1}. Cross-multiplication gives xA−x=Ax−A,xA-x=Ax-A, so x=A=y2+2y−1.x=A=y^2+2y-1.

Therefore, the correct answer is A.

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