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1991 AMC 12 第 6 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

6.

若 x≥0x\ge0，则 xxx=\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}=

If x≥0,x\ge0, then xxx=\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}=

xxx\sqrt{x}

xx4x\sqrt[4]{x}

x8\sqrt[8]{x}

x38\sqrt[8]{x^3}

x78\sqrt[8]{x^7}

答案：E
知识点：nested radicalfractional exponent
难度评级：1260
小提示：

从最内层的平方根开始向外化简

Work from the innermost square root outward

大提示：

把每个平方根改写为 12\frac{1}{2} 次幂

Rewrite each square root as a power of 12\frac{1}{2}

解答：

从内向外使用分数指数，得到 xxx=x⋅x34=x78=x78。 \begin{aligned} \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} &=\sqrt{x\cdot x^{\frac{3}{4}}}\\ &=x^{\frac{7}{8}} =\sqrt[8]{x^7} \end{aligned}\text{。}

因此正确答案为 E。

Starting inside and using fractional exponents, xxx=x⋅x34=x78=x78. \begin{aligned} \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}} &=\sqrt{x\cdot x^{\frac{3}{4}}}\\ &=x^{\frac{7}{8}} =\sqrt[8]{x^7}. \end{aligned}

Thus the correct answer is E.

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