Question

$x$ 和 $y$ 是两个两位正整数，平均数为 $60$ 。比值 $\dfrac{x}{y}$ 的最大值是多少？

Let $x$ and $y$ be two-digit positive integers with mean $60.$ What is the maximum value of the ratio $\dfrac{x}{y}?$

$3$

$\dfrac{33}{7}$

$\dfrac{39}{7}$

$9$

$\dfrac{99}{10}$

平均数条件给出 $x+y=120$ 。

The mean condition gives $x+y=120$

要最大化 $\dfrac{x}{y}$ ，应使 $x$ 尽可能大、 $y$ 尽可能小。

To maximize $\dfrac{x}{y},$ make $x$ as large and $y$ as small as allowed

由 $\dfrac{x+y}{2}=60$ ，得 $x+y=120$ 。要最大化 $\dfrac{x}{y}$ ，应让 $y$ 尽可能小。

因为 $x\le99$ ，所以 $y=120-x\ge21$ 。取 $x=99$ 、 $y=21$ 可得最大值 $\dfrac{99}{21}=\dfrac{33}{7}\text{。}$

所以正确答案是 B。

Since $\dfrac{x+y}{2}=60,$ we have $x+y=120.$ To maximize $\dfrac{x}{y}$ we make $y$ small.

Because $x\le99,$ it follows that $y=120-x\ge21.$ Taking $x=99$ and $y=21$ gives the maximum $\dfrac{99}{21}=\dfrac{33}{7}.$

Thus, the correct answer is B.