Question

在边长为 $s$ 的正方形 $ABCD$ 内，分别以 $A$ 和 $B$ 为圆心、以 $s$ 为半径画四分之一圆弧。两条圆弧在正方形内部交于点 $X$ 。点 $X$ 到边 $CD$ 的距离是多少？

Inside square $ABCD$ with side $s,$ quarter-circle arcs with radii $s$ and centers at $A$ and $B$ are drawn. These arcs intersect at a point $X$ inside the square. How far is $X$ from side $CD?$

$\tfrac12s(\sqrt3+4)$

$\tfrac12s\sqrt3$

$\tfrac12s(1+\sqrt3)$

$\tfrac12s(\sqrt3-1)$

$\tfrac12s(2-\sqrt3)$

答案：E

知识点：等边三角形高线正方形（几何）圆

难度评级：1980

小提示：

两条连接到 $X$ 的半径与边 $AB$ 构成一个等边三角形

The two radii to $X$ and side $AB$ form an equilateral triangle

大提示：

从 $X$ 到 $AB$ 的高为 $\frac{s\sqrt3}{2}$ ；用正方形的高减去它

The altitude from $X$ to $AB$ is $\frac{s\sqrt3}{2}$ ; subtract it from the square’s height

解答：

因为 $AX=BX=AB=s$ ，所以三角形 $ABX$ 是等边三角形。因此 $X$ 到 $AB$ 的垂直距离为 $\frac{s\sqrt3}{2}$ 。平行边 $AB$ 与 $CD$ 之间的距离为 $s$ ，所以所求距离为 $s-\frac{s\sqrt3}{2}=\frac s2(2-\sqrt3)\text{。}$

因此，正确答案是 E。

Since $AX=BX=AB=s,$ triangle $ABX$ is equilateral. Thus the perpendicular distance from $X$ to $AB$ is $\frac{s\sqrt3}{2}.$ The distance between the parallel sides $AB$ and $CD$ is $s,$ so the requested distance is $s-\frac{s\sqrt3}{2}=\frac s2(2-\sqrt3).$

Therefore, the correct answer is E.

1970 AMC 12 第 7 题

答案：E

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 7 题