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1977 AMC 12 第 7 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

7.

若 t=11−24t=\dfrac1{1-\sqrt[4]{2}}，则 tt 等于

If t=11−24,t=\dfrac1{1-\sqrt[4]{2}}, then tt equals

(1−24)(2−2)(1-\sqrt[4]{2})(2-\sqrt2)

(1−24)(1+2)(1-\sqrt[4]{2})(1+\sqrt2)

(1+24)(1−2)(1+\sqrt[4]{2})(1-\sqrt2)

(1+24)(1+2)(1+\sqrt[4]{2})(1+\sqrt2)

−(1+24)(1+2)-(1+\sqrt[4]{2})(1+\sqrt2)

答案：E
知识点：分母有理化平方差根式
难度评级：1860
小提示：

令 u=24u=\sqrt[4]{2}，并利用 u4=2u^4=2

Let u=24u=\sqrt[4]{2} and use u4=2u^4=2

大提示：

把 u4−1u^4-1 分解为两个一次因式与一个二次因式的乘积

Factor u4−1u^4-1 into a linear factor, a second linear factor, and a quadratic factor

解答：

令 u=24u=\sqrt[4]{2}。由于 (1−u)(−(1+u)(1+u2))=−(1−u2)(1+u2)=u4−1=1， \begin{aligned} &(1-u)\bigl(-(1+u)(1+u^2)\bigr)\\ &\qquad=-(1-u^2)(1+u^2)\\ &\qquad=u^4-1=1 \end{aligned}\text{，}所以 t=−(1+24)(1+2)。 t=-(1+\sqrt[4]{2})(1+\sqrt2)\text{。}

因此，正确答案是 E。

Let u=24.u=\sqrt[4]{2}. Since (1−u)(−(1+u)(1+u2))=−(1−u2)(1+u2)=u4−1=1, \begin{aligned} &(1-u)\bigl(-(1+u)(1+u^2)\bigr)\\ &\qquad=-(1-u^2)(1+u^2)\\ &\qquad=u^4-1=1, \end{aligned} it follows that t=−(1+24)(1+2). t=-(1+\sqrt[4]{2})(1+\sqrt2).

Therefore, the correct answer is E.

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