Question

若运算 $x*y$ 定义为 $x*y=(x+1)(y+1)-1$ ，则下列哪一项是错误的？

If the operation $x*y$ is defined by $x*y=(x+1)(y+1)-1,$ then which one of the following is false?

对所有实数 $x$ 和 $y$ ，都有 $x*y=y*x$ 。

$x*y=y*x$ for all real $x$ and $y.$

对所有实数 $x$ 、 $y$ 和 $z$ ， $x*(y+z)$ 等于 $(x*y)+(x*z)$ 。

$x*(y+z)$ equals $(x*y)+(x*z)$ for all real $x,$ $y,$ and $z.$

对所有实数 $x$ ， $(x-1)*(x+1)$ 等于 $(x*x)-1$ 。

$(x-1)*(x+1)$ equals $(x*x)-1$ for all real $x.$

对所有实数 $x$ ，都有 $x*0=x$ 。

$x*0=x$ for all real $x.$

对所有实数 $x$ 、 $y$ 和 $z$ ，都有 $x*(y*z)=(x*y)*z$ 。

$x*(y*z)=(x*y)*z$ for all real $x,$ $y,$ and $z.$

答案：B

知识点：自定义运算分配律反例

难度评级：1390

小提示：

先将该运算化简为 $x+y+xy$

First simplify the operation to $x+y+xy$

大提示：

用 $x=1$ 和 $y=z=0$ 检验所给的分配律

Test the proposed distributive law with $x=1$ and $y=z=0$

解答：

因为 $x*y=x+y+xy$ ，该运算满足交换律，单位元为 $0$ ，并且各数加 $1$ 后会转化为普通乘法。因此它满足结合律，直接展开也能验证 C。当 $x=1$ 且 $y=z=0$ 时，命题 B 不成立：左边为 $1*0=1$ ，而右边为 $(1*0)+(1*0)=2$ 。所以 B 错误。

所以正确答案是 B。

Since $x*y=x+y+xy,$ the operation is commutative, has identity $0,$ and becomes ordinary multiplication after adding $1.$ Thus it is associative, and direct expansion also verifies C. Statement B fails when $x=1$ and $y=z=0:$ its left side is $1*0=1,$ but its right side is $(1*0)+(1*0)=2.$ Hence B is false.

Therefore, the correct answer is B.

1982 AMC 12 第 7 题

答案：B

难度评级：1390

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 7 题