Question

对多少个整数 $n$ （不一定为正）， $4000 \cdot \left(\tfrac{2}{5}\right)^n$ 的值是整数？

For how many (not necessarily positive) integer values of $n$ is the value of $4000 \cdot \left(\tfrac{2}{5}\right)^n$ an integer?

$3$

$4$

$6$

$8$

$9$

答案：E

知识点：质因数分解指数

难度评级：1380

小提示：

写成 $4000 = 2^5 \cdot 5^3$ ，所以表达式为 $2^{5+n} \cdot 5^{3-n}$ 。

Write $4000 = 2^5 \cdot 5^3,$ so the expression is $2^{5+n} \cdot 5^{3-n}$

大提示：

它恰好在两个指数 $5 + n$ 和 $3 - n$ 都非负时是整数

This is an integer exactly when both exponents $5 + n$ and $3 - n$ are nonnegative

解答：

因为 $4000 = 2^5 \cdot 5^3$ ，原式等于 $2^{5+n} \cdot 5^{3-n}$ 。它是整数当且仅当 $5 + n \ge 0$ 且 $3 - n \ge 0$ ，也就是 $-5 \le n \le 3$ 。这样的整数有 $3 - (-5) + 1 = 9$ 个。

所以正确答案是 E。

Since $4000 = 2^5 \cdot 5^3,$ the expression equals $2^{5+n} \cdot 5^{3-n}.$ This is an integer exactly when both $5 + n \ge 0$ and $3 - n \ge 0,$ that is, $-5 \le n \le 3.$ There are $3 - (-5) + 1 = 9$ such integers.

Thus, the correct answer is E.

2018 AMC 12A 第 7 题

答案：E

难度评级：1380

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 7 题