Question

设 $N=34\cdot 34\cdot 63\cdot 270$ 。 $N$ 的奇因数之和与 $N$ 的偶因数之和的比是多少？

Let $N=34\cdot 34\cdot 63\cdot 270.$ What is the ratio of the sum of the odd divisors of $N$ to the sum of the even divisors of $N?$

$1:16$

$1:15$

$1:14$

$1:8$

$1:3$

找出整除 $N$ 的最高 $2$ 次幂

Find the exact power of $2$ dividing $N$

若 $M$ 是 $N$ 的奇数部分， $2^k$ 是偶数部分，则每个偶因数都是某个奇因数乘以 $2^j$ 。

If $M$ is the odd part of $N$ and $2^k$ the even part, every even divisor is $2^j$ times an odd divisor

分解质因数， $34=2\cdot 17$ ， $63=3^2\cdot 7$ ，且 $270=2\cdot 3^3\cdot 5$ ，所以 $N=2^3\cdot 3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2$ 。

令 $M$ 为奇数部分 $3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2$ 。所有因数之和为 $(1+2+4+8)\,\sigma(M)$ $=15\,\sigma(M)$ 。

奇因数之和为 $\sigma(M)$ ，所以偶因数之和为 $15\,\sigma(M)-\sigma(M)=14\,\sigma(M)$ 。

所求比为 $\sigma(M):14\,\sigma(M)=1:14$ 。

所以正确答案是 C。

Factoring, $34=2\cdot 17,$ $63=3^2\cdot 7,$ and $270=2\cdot 3^3\cdot 5,$ so $N=2^3\cdot 3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.$

Let $M$ be the odd part $3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.$ The sum of all divisors is $(1+2+4+8)\,\sigma(M)$ $=15\,\sigma(M).$

The odd divisors sum to $\sigma(M),$ so the even divisors sum to $15\,\sigma(M)-\sigma(M)=14\,\sigma(M).$

The ratio is $\sigma(M):14\,\sigma(M)=1:14.$

Thus, the correct answer is C.