Question

有多少个周长为 $7$ 、边长为整数且互不全等的三角形？

How many non-congruent triangles with perimeter $7$ have integer side lengths?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

最长边必须小于周长的一半。

The longest side must be less than half the perimeter

最长边至多为 $3$ 。

The longest side is at most $3$

设边长为 $a\le b\le c$ ，且 $a+b+c=7$ 。三角形不等式要求 $c\lt a+b$ ，所以 $c\lt3.5$ ，从而 $c=3$ 。

此时 $a+b=4$ ，且 $a\le b\le3$ 得到 $1\text{-}3\text{-}3$ 和 $2\text{-}2\text{-}3$ 两种三角形。

所以正确答案是 B。

Let the sides be $a\le b\le c$ with $a+b+c=7.$ The triangle inequality requires $c\lt a+b,$ so $c\lt3.5,$ forcing $c=3.$

Then $a+b=4$ with $a\le b\le3,$ giving the triangles $1\text{-}3\text{-}3$ and $2\text{-}2\text{-}3.$

Thus, the correct answer is B.