Question

函数 $\sin(x)$ 和 $\cos(x)$ 都是周期函数，最小正周期为 $2\pi$ 。函数 $\cos(\sin(x))$ 的最小正周期是多少？

The functions $\sin(x)$ and $\cos(x)$ are periodic with least period $2\pi.$ What is the least period of the function $\cos(\sin(x))?$

$\dfrac{\pi}{2}$

$\pi$

$2\pi$

$4\pi$

它不是周期函数。

It’s not periodic.

答案：B

知识点：三角恒等式函数

难度评级：1500

小提示：

使用 $\sin(x + \pi) = -\sin(x)$ ，以及 $\cos$ 是偶函数

Use that $\sin(x + \pi) = -\sin(x)$ and $\cos$ is even

大提示：

要排除更小的周期，注意 $\cos(\sin(x)) = 1$ 只在 $\sin(x) = 0$ 时成立，也就是在 $\pi$ 的整数倍处

To rule out a smaller period, note $\cos(\sin(x)) = 1$ only when $\sin(x) = 0,$ i.e. at multiples of $\pi$

解答：

因为 $\cos(\sin(x + \pi))$ $= \cos(-\sin(x))$ $= \cos(\sin(x))$ ，所以该函数有周期 $\pi$ 。它不可能有更小的周期： $\cos(\sin(x)) = 1$ 当且仅当 $\sin(x) = 0$ ，这只发生在 $\pi$ 的整数倍处，所以最大值之间相隔 $\pi$ 。最小正周期为 $\pi$ 。

所以正确答案是 B。

Since $\cos(\sin(x + \pi))$ $= \cos(-\sin(x))$ $= \cos(\sin(x)),$ the function has period $\pi.$ It cannot be smaller: $\cos(\sin(x)) = 1$ exactly when $\sin(x) = 0,$ which happens only at integer multiples of $\pi,$ so the maxima are spaced $\pi$ apart. The least period is $\pi.$

Thus, the correct answer is B.

2017 AMC 12B 第 7 题

答案：B

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 7 题