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2021 AMC 12B Spring 第 8 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

8.

三条等间距平行线与一个圆相交，形成三条长度分别为 3838，3838，和 3434 的弦。相邻两条平行线之间的距离是多少？

Three equally spaced parallel lines intersect a circle, creating three chords of lengths 38,38, 38,38, and 34.34. What is the distance between two adjacent parallel lines?

5125\tfrac{1}{2}

66

6126\tfrac{1}{2}

77

7127\tfrac{1}{2}

答案：B
知识点：弦勾股定理
难度评级：1500
小提示：

等弦到圆心的距离相等，所以两条 3838 的弦位于高度 ±d2\pm\tfrac{d}{2}。

Equal chords are equidistant from the center, so the two 3838 chords sit at heights ±d2\pm\tfrac{d}{2}

大提示：

设间距为 dd，使用 r2−(d2)2=192r^2-\left(\tfrac{d}{2}\right)^2=19^2 和 r2−(3d2)2=172r^2-\left(\tfrac{3d}{2}\right)^2=17^2

With spacing d,d, use r2−(d2)2=192r^2-\left(\tfrac{d}{2}\right)^2=19^2 and r2−(3d2)2=172r^2-\left(\tfrac{3d}{2}\right)^2=17^2

解答：

把圆心放在高度 00。两条等弦到圆心距离相等，所以三条等间距直线可放在高度 −d2,d2,3d2-\tfrac{d}{2},\tfrac{d}{2},\tfrac{3d}{2}，其中两条 3838 的弦在 ±d2\pm\tfrac{d}{2}，3434 的弦在 3d2\tfrac{3d}{2}。

半弦关系给出 r2−(d2)2=192r^2-\left(\tfrac{d}{2}\right)^2=19^2 和 r2−(3d2)2=172r^2-\left(\tfrac{3d}{2}\right)^2=17^2。

相减得 2d2=192−172=722d^2=19^2-17^2=72，所以 d2=36d^2=36，d=6d=6。

所以正确答案是 B。

Place the center at height 0.0. Two equal chords lie at equal distances from the center, so the three equally spaced lines are at heights −d2,d2,3d2,-\tfrac{d}{2},\tfrac{d}{2},\tfrac{3d}{2}, with the two 3838-chords at ±d2\pm\tfrac{d}{2} and the 3434-chord at 3d2.\tfrac{3d}{2}.

Half-chord relations give r2−(d2)2=192r^2-\left(\tfrac{d}{2}\right)^2=19^2 and r2−(3d2)2=172.r^2-\left(\tfrac{3d}{2}\right)^2=17^2.

Subtracting, 2d2=192−172=72,2d^2=19^2-17^2=72, so d2=36d^2=36 and d=6.d=6.

Thus, the correct answer is B.

第 7 题#7
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第 9 题#9

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