Question

无限乘积

$\sqrt[3]{10}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}}\cdots$

收敛到一个实数。这个数是多少？

The infinite product

$\sqrt[3]{10}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}}\cdots$

evaluates to a real number. What is that number?

$\sqrt{10}$

$\sqrt[3]{100}$

$\sqrt[4]{1000}$

$10$

$10\sqrt[3]{10}$

把每个因子都写成 $10$ 的幂

Write every factor as a power of $10$

指数为 $\dfrac13,\dfrac19,\dfrac1{27},\ldots$ ，构成一个等比数列

The exponents are $\dfrac13,\dfrac19,\dfrac1{27},\ldots,$ a geometric series

第 $k$ 个因子是对 $10$ 连取 $k$ 次立方根，也就是 $10^{\frac{1}{3^k}}$ 。

这个乘积等于 $10$ 的如下幂： $\begin{aligned} &\frac13+\frac19+\frac1{27}+\cdots=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} \\ &=\frac12 \end{aligned}\text{。}$

所以乘积的值为 $10^{\frac{1}{2}}=\sqrt{10}$ 。

因此，正确答案是 A。

The $k$ th factor is $10$ raised to the $k$ -fold cube root, namely $10^{\frac{1}{3^k}}.$

The product is $10$ raised to $\begin{aligned} &\frac13+\frac19+\frac1{27}+\cdots=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} \\ &=\frac12. \end{aligned}$

So the value is $10^{\frac{1}{2}}=\sqrt{10}.$

Thus, the correct answer is A.