Question

按定义， $r!=r(r-1)\cdots1$ ，且 $\binom jk=\frac{j!}{k!(j-k)!}$ ，其中 $r$ 、 $j$ 、 $k$ 为正整数且 $k\lt j$ 。若 $\binom n1$ 、 $\binom n2$ 、 $\binom n3$ 构成等差数列，且 $n\gt3$ ，则 $n$ 等于

By definition $r!=r(r-1)\cdots1$ and $\binom jk=\frac{j!}{k!(j-k)!},$ where $r,$ $j,$ $k$ are positive integers and $k\lt j.$ If $\binom n1,$ $\binom n2,$ $\binom n3$ form an arithmetic progression with $n\gt3,$ then $n$ equals

$5$

$7$

$9$

$11$

$12$

答案：B

知识点：阶乘组合等差数列二次方程

难度评级：1730

小提示：

等差数列的中项是相邻两项的平均数

The middle term of an arithmetic progression is the average of its neighbors

大提示：

将阶乘公式代入 $2\binom n2=\binom n1+\binom n3$

Substitute the factorial formulas into $2\binom n2=\binom n1+\binom n3$

解答：

等差条件为 $2\binom n2=\binom n1+\binom n3$ 。代入并约分得到 $n^2-9n+14=0$ ，即 $(n-2)(n-7)=0$ 。因为 $n\gt3$ ，所以 $n=7$ 。

所以正确答案是 B。

The progression condition is $2\binom n2=\binom n1+\binom n3.$ Substitution and cancellation give $n^2-9n+14=0,$ or $(n-2)(n-7)=0.$ Since $n\gt3,$ $n=7.$

Therefore, the correct answer is B.

1982 AMC 12 第 8 题

答案：B

难度评级：1730

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题