Question

El producto infinito

$\sqrt[3]{10}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}}\cdots$

es igual a un número real. ¿Cuál es ese número?

The infinite product

$\sqrt[3]{10}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}}\cdots$

evaluates to a real number. What is that number?

$\sqrt{10}$

$\sqrt[3]{100}$

$\sqrt[4]{1000}$

$10$

$10\sqrt[3]{10}$

Escribe cada factor como una potencia de $10$

Write every factor as a power of $10$

Los exponentes son $\dfrac13,\dfrac19,\dfrac1{27},\ldots,$ una serie geométrica

The exponents are $\dfrac13,\dfrac19,\dfrac1{27},\ldots,$ a geometric series

El $k$ -ésimo factor es $10$ elevado a la raíz cúbica aplicada $k$ veces, es decir $10^{\frac{1}{3^k}}.$

El producto es $10$ elevado a $\begin{aligned} &\frac13+\frac19+\frac1{27}+\cdots=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} \\ &=\frac12. \end{aligned}$

Así que el valor es $10^{\frac{1}{2}}=\sqrt{10}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The $k$ th factor is $10$ raised to the $k$ -fold cube root, namely $10^{\frac{1}{3^k}}.$

The product is $10$ raised to $\begin{aligned} &\frac13+\frac19+\frac1{27}+\cdots=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} \\ &=\frac12. \end{aligned}$

So the value is $10^{\frac{1}{2}}=\sqrt{10}.$

Thus, the correct answer is A.