Question

En la figura, $\angle EAB$ y $\angle ABC$ son ángulos rectos, $AB = 4$ , $BC = 6$ , $AE = 8$ , y $\overline{AC}$ y $\overline{BE}$ se cortan en $D$ . ¿Cuál es la diferencia entre las áreas de $\triangle ADE$ y $\triangle BDC$ ?

In the figure, $\angle EAB$ and $\angle ABC$ are right angles, $AB = 4,$ $BC = 6,$ $AE = 8,$ and $\overline{AC}$ and $\overline{BE}$ intersect at $D.$ What is the difference between the areas of $\triangle ADE$ and $\triangle BDC?$

$2$

$4$

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$8$

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Solución:

Sean $x$ , $y$ y $z$ las áreas de $\triangle ADE$ , $\triangle BDC$ y $\triangle ABD$ , respectivamente.

Entonces $\triangle ABE$ tiene área $\tfrac12 \cdot 4 \cdot 8 = 16 = x + z$ , y $\triangle ABC$ tiene área $\tfrac12 \cdot 4 \cdot 6 = 12 = y + z$ .

La diferencia buscada es $\begin{aligned} x - y &= (x + z) - (y + z) \\ &= 16 - 12 = 4. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $x,$ $y,$ and $z$ be the areas of $\triangle ADE,$ $\triangle BDC,$ and $\triangle ABD,$ respectively.

Then $\triangle ABE$ has area $\tfrac12 \cdot 4 \cdot 8 = 16 = x + z,$ and $\triangle ABC$ has area $\tfrac12 \cdot 4 \cdot 6 = 12 = y + z.$

The requested difference is $\begin{aligned} x - y &= (x + z) - (y + z) \\ &= 16 - 12 = 4. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

2004 AMC 12A Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años