Question

Para un conjunto de cuatro rectas distintas en un plano, hay exactamente $N$ puntos distintos que están sobre dos o más de las rectas. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $N$ ?

For a set of four distinct lines in a plane, there are exactly $N$ distinct points that lie on two or more of the lines. What is the sum of all possible values of $N?$

$14$

$16$

$18$

$19$

$21$

Solución:

Con cuatro rectas, el número de puntos de intersección varía según las configuraciones alcanzables. Todas paralelas da $0;$ todas concurrentes da $1.$

Analizando los casos (clases de paralelismo y puntos de concurrencia), los valores alcanzables son $0, 1, 3, 4, 5, 6;$ el valor $2$ es imposible.

La suma es $0 + 1 + 3 + 4 + 5 + 6 = 19.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

With four lines, the number of intersection points ranges over the achievable configurations. All parallel gives $0;$ all concurrent gives $1.$

Working through the cases (parallel classes and points of concurrency), the achievable values are $0, 1, 3, 4, 5, 6;$ the value $2$ is impossible.

The sum is $0 + 1 + 3 + 4 + 5 + 6 = 19.$

Thus, the correct answer is D.

2019 AMC 12A Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años