2019 AMC 12A Problema 8
Intenta el Problema 8 del 2019 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2019 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
8.
Para un conjunto de cuatro rectas distintas en un plano, hay exactamente puntos distintos que están sobre dos o más de las rectas. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de ?
For a set of four distinct lines in a plane, there are exactly distinct points that lie on two or more of the lines. What is the sum of all possible values of
Respuesta: D
Pista pequeña:
El máximo es cuando las rectas están en posición general.
The maximum is when the lines are in general position
Pista grande:
Enumera las configuraciones usando clases de paralelismo y concurrencias; verifica cuáles recuentos desde hasta son alcanzables
Enumerate configurations using parallel classes and concurrences; check which counts from to are achievable
Solución:
Los valores y ocurren cuando las cuatro rectas son paralelas o concurrentes, respectivamente. Tres rectas paralelas cortadas por una cuarta dan puntos. Tres rectas concurrentes junto con una cuarta que no pasa por su punto común dan Un par paralelo sin tres rectas concurrentes da y cuatro rectas en posición general dan
El valor es imposible. Una vez que dos rectas se cortan en una tercera que no pasa por crea al menos una intersección nueva; una cuarta recta distinta debe crear entonces otro punto nuevo. Si todas las rectas restantes pasan por hay solo un punto de intersección. Así, los valores posibles son cuya suma es
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The values and occur when all four lines are parallel or all four are concurrent. Three parallel lines crossed by a fourth give points. Three concurrent lines together with a fourth line not through their common point give One parallel pair with no three concurrent gives and four lines in general position give
The value is impossible. Once two lines meet at a third line not through creates at least one new intersection; a fourth distinct line must then create another new point. If every remaining line passes through there is only one intersection point instead. Thus the achievable values are whose sum is
Thus, the correct answer is D.
El Problema 8 en otros años
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