Question

Se colocan cuatro rectángulos congruentes como se muestra. El área del cuadrado exterior es $4$ veces la del cuadrado interior. ¿Cuál es la razón entre la longitud del lado más largo de cada rectángulo y la longitud de su lado más corto?

Four congruent rectangles are placed as shown. The area of the outer square is $4$ times that of the inner square. What is the ratio of the length of the longer side of each rectangle to the length of its shorter side?

$3$

$\sqrt{10}$

$2 + \sqrt{2}$

$2\sqrt{3}$

$4$

Solución:

Los rectángulos tienen lado más corto $x$ y lado más largo $y.$ El cuadrado exterior tiene lado $x + y$ y el interior tiene lado $y - x.$

Como el área exterior es $4$ veces la interior, la razón de los lados es $\sqrt{4} = 2,$ así que $x + y = 2(y - x).$

Esto da $y = 3x,$ así que la razón del lado más largo al más corto es $3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the rectangles have shorter side $x$ and longer side $y.$ The outer square has side $x + y$ and the inner square has side $y - x.$

Since the outer area is $4$ times the inner area, the side ratio is $\sqrt{4} = 2,$ so $x + y = 2(y - x).$

This gives $y = 3x,$ so the ratio of longer to shorter side is $3.$

Thus, the correct answer is A.

2009 AMC 12A Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años