Question

¿Cuál es la mediana de la siguiente lista de $4040$ números?

$1, 2, 3, \ldots, 2020,$ $1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 2020^2$

What is the median of the following list of $4040$ numbers?

$1, 2, 3, \ldots, 2020,$ $1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 2020^2$

$1974.5$

$1975.5$

$1976.5$

$1977.5$

$1978.5$

La mediana es el promedio del $2020$ -ésimo y del $2021$ -ésimo valores más pequeños.

Los cuadrados perfectos que son a lo sumo $2020$ son $1^2, \ldots, 44^2$ (ya que $44^2 = 1936$ y $45^2 = 2025$ ), así que hay $44$ de ellos.

En la lista, los números $\le 1976$ son los $1976$ enteros $1, \ldots, 1976$ junto con esos $44$ cuadrados, sumando $1976 + 44 = 2020.$

Así el $2020$ -ésimo valor es $1976$ y el $2021$ -ésimo valor es $1977,$ haciendo que la mediana sea $\dfrac{1976 + 1977}{2} = 1976.5.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The median is the average of the $2020$ th and $2021$ st smallest values.

The perfect squares that are at most $2020$ are $1^2, \ldots, 44^2$ (since $44^2 = 1936$ and $45^2 = 2025$ ), so there are $44$ of them.

Among the list, the numbers $\le 1976$ are the $1976$ integers $1, \ldots, 1976$ together with those $44$ squares, totaling $1976 + 44 = 2020.$

Thus the $2020$ th value is $1976$ and the $2021$ st value is $1977,$ making the median $\dfrac{1976 + 1977}{2} = 1976.5.$

Thus, C is the correct answer.