Question

La región formada por todos los puntos del espacio tridimensional que están a no más de $3$ unidades del segmento $AB$ tiene volumen $216\pi.$ ¿Cuál es la longitud $AB$ ?

The region consisting of all points in three-dimensional space within $3$ units of line segment $AB$ has volume $216\pi.$ What is the length $AB?$

$6$

$12$

$18$

$20$

$24$

Solución:

Sea $h=AB.$ La región es un cilindro de radio $3$ y altura $h$ con un hemisferio de radio $3$ en cada extremo.

El cilindro tiene volumen $\pi\cdot3^2\cdot h=9\pi h,$ y los dos hemisferios juntos forman una esfera de volumen $\dfrac{4}{3}\pi\cdot3^3=36\pi.$ Así que $9\pi h+36\pi=216\pi,$ de donde $h=20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $h=AB.$ The region is a cylinder of radius $3$ and height $h$ with a hemisphere of radius $3$ on each end.

The cylinder has volume $\pi\cdot3^2\cdot h=9\pi h,$ and the two hemispheres together form a sphere of volume $\dfrac{4}{3}\pi\cdot3^3=36\pi.$ So $9\pi h+36\pi=216\pi,$ giving $h=20.$

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12A Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años