Question

La razón del lado corto de cierto rectángulo al lado largo es igual a la razón del lado largo a la diagonal. ¿Cuál es el cuadrado de la razón del lado corto al lado largo de este rectángulo?

The ratio of the short side of a certain rectangle to the long side is equal to the ratio of the long side to the diagonal. What is the square of the ratio of the short side to the long side of this rectangle?

$\dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{\sqrt{6} - 1}{2}$

Solución:

Sean $x$ y $y$ el lado corto y el lado largo, de modo que la diagonal es $\sqrt{x^2 + y^2}$ y $\dfrac{x^2}{y^2} = \dfrac{y^2}{x^2 + y^2}.$ Escribiendo $r = \dfrac{x^2}{y^2},$ el lado derecho es $\dfrac{y^2}{x^2 + y^2} = \dfrac{1}{r + 1},$ de modo que $r = \dfrac{1}{r+1},$ lo que da $r^2 + r - 1 = 0.$ La raíz positiva es $r = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $x$ and $y$ be the short and long sides, so the diagonal is $\sqrt{x^2 + y^2}$ and $\dfrac{x^2}{y^2} = \dfrac{y^2}{x^2 + y^2}.$ Writing $r = \dfrac{x^2}{y^2},$ the right side is $\dfrac{y^2}{x^2 + y^2} = \dfrac{1}{r + 1},$ so $r = \dfrac{1}{r+1},$ giving $r^2 + r - 1 = 0.$ The positive root is $r = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}.$

Thus, the correct answer is C.

2017 AMC 12B Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años