Question

La recta $\ell_1$ tiene ecuación $3x - 2y = 1$ y pasa por $A = (-1, -2).$ La recta $\ell_2$ tiene ecuación $y = 1$ y corta a la recta $\ell_1$ en el punto $B.$ La recta $\ell_3$ tiene pendiente positiva, pasa por el punto $A,$ y corta a $\ell_2$ en el punto $C.$ El área del $\triangle ABC$ es $3.$ ¿Cuál es la pendiente de $\ell_3$ ?

Line $\ell_1$ has equation $3x - 2y = 1$ and goes through $A = (-1, -2).$ Line $\ell_2$ has equation $y = 1$ and meets line $\ell_1$ at point $B.$ Line $\ell_3$ has positive slope, goes through point $A,$ and meets $\ell_2$ at point $C.$ The area of $\triangle ABC$ is $3.$ What is the slope of $\ell_3?$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$1$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{3}{2}$

Solución:

Al resolver $3x - 2y = 1$ con $y = 1$ se obtiene $B = (1, 1).$ La distancia de $A = (-1, -2)$ a la recta $y = 1$ es $3,$ así que $\tfrac12\cdot BC\cdot 3 = 3$ da $BC = 2.$ Entonces $C = (3, 1)$ o $C = (-1, 1);$ esta última hace que $\ell_3$ sea vertical, así que $C = (3, 1)$ y la pendiente es $\dfrac{1 - (-2)}{3 - (-1)} = \dfrac34.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Solving $3x - 2y = 1$ with $y = 1$ gives $B = (1, 1).$ The distance from $A = (-1, -2)$ to the line $y = 1$ is $3,$ so $\tfrac12\cdot BC\cdot 3 = 3$ gives $BC = 2.$ Then $C = (3, 1)$ or $C = (-1, 1);$ the latter makes $\ell_3$ vertical, so $C = (3, 1)$ and the slope is $\dfrac{1 - (-2)}{3 - (-1)} = \dfrac34.$ Thus, the correct answer is B.

2013 AMC 12B Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años