Question

Un promedio iterativo de los números $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ y $5$ se calcula de la siguiente manera. Ordena los cinco números en algún orden. Halla la media de los dos primeros números, luego halla la media de eso con el tercer número, luego la media de eso con el cuarto número y, finalmente, la media de eso con el quinto número. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor valor posible que se puede obtener mediante este procedimiento?

An iterative average of the numbers $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ and $5$ is computed in the following way. Arrange the five numbers in some order. Find the mean of the first two numbers, then find the mean of that with the third number, then the mean of that with the fourth number, and finally the mean of that with the fifth number. What is the difference between the largest and smallest possible values that can be obtained using this procedure?

$\dfrac{31}{16}$

$2$

$\dfrac{17}{8}$

$3$

$\dfrac{65}{16}$

Solución:

Para el orden $a, b, c, d, e,$ el promedio iterativo es $\frac{a + b + 2c + 4d + 8e}{16}.$ Las posiciones posteriores tienen el mayor peso.

El valor máximo usa $(a,b,c,d,e) = (1,2,3,4,5),$ dando $\dfrac{65}{16},$ y el mínimo usa $(5,4,3,2,1),$ dando $\dfrac{31}{16}$ .

La diferencia es $\dfrac{65}{16} - \dfrac{31}{16} = \dfrac{34}{16} = \dfrac{17}{8}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For the order $a, b, c, d, e,$ the iterative average is $\frac{a + b + 2c + 4d + 8e}{16}.$ The later positions carry the most weight.

The largest value uses $(a,b,c,d,e) = (1,2,3,4,5),$ giving $\dfrac{65}{16},$ and the smallest uses $(5,4,3,2,1),$ giving $\dfrac{31}{16}.$

The difference is $\dfrac{65}{16} - \dfrac{31}{16} = \dfrac{34}{16} = \dfrac{17}{8}.$

Thus, the correct answer is C.

2012 AMC 12A Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años