Question

Sean $A,$ $M,$ y $C$ dígitos tales que $\begin{aligned} &(100A + 10M + C) \\ &\quad {}\cdot (A + M + C) = 2005. \end{aligned}$ ¿Cuánto vale $A$ ?

Let $A,$ $M,$ and $C$ be digits with $\begin{aligned} &(100A + 10M + C) \\ &\quad {}\cdot (A + M + C) = 2005. \end{aligned}$ What is $A?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: D

Conceptos:factorización en primos dígitos acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Factoriza $2005$ en primos.

Factor $2005$ into primes

Pista grande:

La suma de dígitos $A + M + C$ es a lo sumo $27,$ lo que determina a qué factor es igual.

The digit sum $A + M + C$ is at most $27,$ which pins down which factor it equals

Solución:

Como $A + M + C \le 9 + 9 + 9 = 27,$ y $2005 = 5 \cdot 401,$ la suma de dígitos solo puede ser $1$ o $5.$ No puede ser $1,$ porque entonces $100A+10M+C=2005>999.$ Por lo tanto, debe ser el factor no trivial menor: $\begin{aligned} &100A + 10M + C = 401, \\ &\quad A + M + C = 5. \end{aligned}$

Leyendo los dígitos, $A = 4,$ $M = 0,$ y $C = 1.$

Así, la respuesta correcta es D.

Since $A + M + C \le 9 + 9 + 9 = 27,$ and $2005 = 5 \cdot 401,$ the digit sum can only be $1$ or $5.$ It cannot be $1,$ because then $100A+10M+C=2005>999.$ Thus it must be the smaller nontrivial factor: $\begin{aligned} &100A + 10M + C = 401, \\ &\quad A + M + C = 5. \end{aligned}$

Reading off the digits, $A = 4,$ $M = 0,$ and $C = 1.$

Thus, the correct answer is D.

2005 AMC 12A Problema 8

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años