Question

Sea $M$ el mínimo común múltiplo de todos los enteros de $10$ a $30,$ inclusive. Sea $N$ el mínimo común múltiplo de $M, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39,$ y $40.$ ¿Cuál es el valor de $\dfrac{N}{M}$ ?

Let $M$ be the least common multiple of all the integers $10$ through $30,$ inclusive. Let $N$ be the least common multiple of $M, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39,$ and $40.$ What is the value of $\dfrac{N}{M}?$

$1$

$2$

$37$

$74$

$2886$

Solución:

$M = \operatorname{lcm}(10, \ldots, 30)$ contiene $2^4$ (de $16$ ), $3^3$ (de $27$ ), $5^2$ (de $25$ ), $7,$ y todo primo hasta $29.$

Entre $32, \ldots, 40,$ las únicas contribuciones nuevas son $32 = 2^5,$ que eleva la potencia de $2$ de $2^4$ a $2^5,$ y el nuevo primo $37.$ Todo lo demás se factoriza en primos y potencias que ya están en $M.$

Por lo tanto $\dfrac{N}{M} = 2 \cdot 37 = 74.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

$M = \operatorname{lcm}(10, \ldots, 30)$ contains $2^4$ (from $16$ ), $3^3$ (from $27$ ), $5^2$ (from $25$ ), $7,$ and every prime up to $29.$

Among $32, \ldots, 40,$ the only new contributions are $32 = 2^5,$ which raises the power of $2$ from $2^4$ to $2^5,$ and the new prime $37.$ Everything else factors into primes and powers already in $M.$

Therefore $\dfrac{N}{M} = 2 \cdot 37 = 74.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Fall Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años