Question

Se dibuja un polígono estrellado sobre la esfera de un reloj trazando una cuerda desde cada número hasta el quinto número contado en sentido horario a partir de ese número. Es decir, se trazan cuerdas desde $12$ hasta $5,$ desde $5$ hasta $10,$ desde $10$ hasta $3,$ y así sucesivamente, terminando de nuevo en $12.$ ¿Cuál es la medida en grados del ángulo en cada vértice del polígono estrellado?

A star-polygon is drawn on a clock face by drawing a chord from each number to the fifth number counted clockwise from that number. That is, chords are drawn from $12$ to $5,$ from $5$ to $10,$ from $10$ to $3,$ and so on, ending back at $12.$ What is the degree measure of the angle at each vertex in the star-polygon?

$20$

$24$

$30$

$36$

$60$

Solución:

Considera las dos cuerdas que se encuentran en el número $5.$ Van hacia $12$ y hacia $10,$ así que el arco que subtienden se extiende desde $10$ hasta $12.$

Ese arco abarca dos de las doce marcas horarias, así que su medida es $\tfrac{2}{12}\cdot 360^\circ=60^\circ.$

Por el Teorema del Ángulo Inscrito, el ángulo del vértice es la mitad del arco, o $\tfrac12\cdot 60^\circ=30^\circ.$ Por simetría, cada ángulo de vértice es igual a $30^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Consider the two chords meeting at the number $5.$ They run to $12$ and to $10,$ so the arc they subtend extends from $10$ to $12.$

That arc spans two of the twelve hour-marks, so its measure is $\tfrac{2}{12}\cdot 360^\circ=60^\circ.$

By the Inscribed Angle Theorem, the vertex angle is half the arc, or $\tfrac12\cdot 60^\circ=30^\circ.$ By symmetry every vertex angle equals $30^\circ.$

Thus, the correct answer is C.

2007 AMC 12A Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años