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2007 AMC 12A Problema 8

Intenta el Problema 8 del 2007 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2007 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

8.

Se dibuja un polígono estrellado sobre la esfera de un reloj trazando una cuerda desde cada número hasta el quinto número contado en sentido horario a partir de ese número. Es decir, se trazan cuerdas desde 1212 hasta 5,5, desde 55 hasta 10,10, desde 1010 hasta 3,3, y así sucesivamente, terminando de nuevo en 12.12. ¿Cuál es la medida en grados del ángulo en cada vértice del polígono estrellado?

A star-polygon is drawn on a clock face by drawing a chord from each number to the fifth number counted clockwise from that number. That is, chords are drawn from 1212 to 5,5, from 55 to 10,10, from 1010 to 3,3, and so on, ending back at 12.12. What is the degree measure of the angle at each vertex in the star-polygon?

2020

2424

3030

3636

6060

Respuesta: C
Conceptos:ángulo inscritoarco
Nivel de dificultad: 1350
Pista pequeña:

Cada ángulo de vértice es un ángulo inscrito en el círculo que pasa por los números del reloj.

Each vertex angle is an inscribed angle in the circle through the clock numbers

Pista grande:

Las dos cuerdas que se encuentran en un vértice recortan un arco que abarca dos marcas horarias, o 60∘60^\circ.

The two chords meeting at a vertex cut off an arc spanning two hour-marks, or 60∘60^\circ

Solución:

Considera las dos cuerdas que se encuentran en el número 5.5. Van hacia 1212 y hacia 10,10, así que el arco que subtienden se extiende desde 1010 hasta 12.12.

Ese arco abarca dos de las doce marcas horarias, así que su medida es 212⋅360∘=60∘.\tfrac{2}{12}\cdot 360^\circ=60^\circ.

Por el Teorema del Ángulo Inscrito, el ángulo del vértice es la mitad del arco, o 12⋅60∘=30∘.\tfrac12\cdot 60^\circ=30^\circ. Por simetría, cada ángulo de vértice es igual a 30∘.30^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Consider the two chords meeting at the number 5.5. They run to 1212 and to 10,10, so the arc they subtend extends from 1010 to 12.12.

That arc spans two of the twelve hour-marks, so its measure is 212⋅360∘=60∘.\tfrac{2}{12}\cdot 360^\circ=60^\circ.

By the Inscribed Angle Theorem, the vertex angle is half the arc, or 12⋅60∘=30∘.\tfrac12\cdot 60^\circ=30^\circ. By symmetry every vertex angle equals 30∘.30^\circ.

Thus, the correct answer is C.

Problema 7#7
Examen completo
Problema 9#9

El Problema 8 en otros años

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