Question

El punto $P(a,b)$ del plano $xy$ se rota primero $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor del punto $(1,5)$ y luego se refleja respecto a la recta $y=-x.$ La imagen de $P$ tras estas dos transformaciones está en $(-6,3).$ ¿Cuánto vale $b-a$ ?

The point $P(a,b)$ in the $xy$ -plane is first rotated counterclockwise by $90^\circ$ around the point $(1,5)$ and then reflected about the line $y=-x.$ The image of $P$ after these two transformations is at $(-6,3).$ What is $b-a?$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Solución:

Una rotación de $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor de $(1,5)$ envía $(a,b)$ a $(1-(b-5),\,5+(a-1))$ $=(6-b,\,4+a).$

Reflejar eso respecto a $y=-x$ (que envía $(x,y)$ a $(-y,-x)$ ) da $(-(4+a),\,-(6-b))$ $=(-4-a,\,b-6).$

Igualando esto a $(-6,3)$ se obtiene $-4-a=-6$ y $b-6=3,$ así que $a=2$ y $b=9.$

Por lo tanto $b-a=9-2=7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A $90^\circ$ counterclockwise rotation about $(1,5)$ sends $(a,b)$ to $(1-(b-5),\,5+(a-1))$ $=(6-b,\,4+a).$

Reflecting that about $y=-x$ (which maps $(x,y)$ to $(-y,-x)$ ) gives $(-(4+a),\,-(6-b))$ $=(-4-a,\,b-6).$

Setting this equal to $(-6,3)$ gives $-4-a=-6$ and $b-6=3,$ so $a=2$ and $b=9.$

Therefore $b-a=9-2=7.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12B Spring Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años