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1973 AMC 12 Problema 5

Intenta el Problema 5 del 1973 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1973 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

5.

De las siguientes cinco afirmaciones, de I\mathrm{I} a V,\mathrm{V}, sobre la operación binaria de promediar (media aritmética),

I.\mathrm{I}. Promediar es asociativo

II.\mathrm{II}. Promediar es conmutativo

III.\mathrm{III}. Promediar es distributivo respecto de la suma

IV.\mathrm{IV}. La suma es distributiva respecto de promediar

V.\mathrm{V}. La operación de promediar tiene un elemento identidad

las que siempre son verdaderas son

Of the following five statements, I\mathrm{I} to V,\mathrm{V}, about the binary operation of averaging (arithmetic mean),

I.\mathrm{I}. Averaging is associative

II.\mathrm{II}. Averaging is commutative

III.\mathrm{III}. Averaging distributes over addition

IV.\mathrm{IV}. Addition distributes over averaging

V.\mathrm{V}. Averaging has an identity element

those which are always true are

Todas

All

solo I\mathrm{I} y II\mathrm{II}

I\mathrm{I} and II\mathrm{II} only

solo II\mathrm{II} y III\mathrm{III}

II\mathrm{II} and III\mathrm{III} only

solo II\mathrm{II} y IV\mathrm{IV}

II\mathrm{II} and IV\mathrm{IV} only

solo II\mathrm{II} y V\mathrm{V}

II\mathrm{II} and V\mathrm{V} only

Respuesta: D
Conceptos:operación personalizadapropiedad distributivacontraejemplo
Nivel de dificultad: 1750
Pista pequeña:

Escribe la operación de promediar como a∗b=a+b2a*b=\frac{a+b}{2}

Write the averaging operation as a∗b=a+b2a*b=\frac{a+b}{2}

Pista grande:

Desarrolla cada identidad propuesta; un solo contraejemplo basta para descartar una propiedad

Expand each proposed identity; one counterexample is enough to reject a property

Solución:

Sea a∗b=a+b2.a*b=\frac{a+b}{2}. La conmutatividad es inmediata. Además, a+(b∗c)=2a+b+c2=(a+b)∗(a+c). \begin{aligned} a+(b*c) &=\frac{2a+b+c}{2}\\ &=(a+b)*(a+c). \end{aligned} por lo que la suma es distributiva respecto de promediar.

La asociatividad falla porque (a∗b)∗c=a+b+2c4,a∗(b∗c)=2a+b+c4. \begin{aligned} (a*b)*c&=\frac{a+b+2c}{4},\\ a*(b*c)&=\frac{2a+b+c}{4}. \end{aligned} Promediar no es distributivo respecto de la suma, pues en general a∗(b+c)≠(a∗b)+(a∗c). a*(b+c)\ne(a*b)+(a*c). Por último, un elemento identidad ee exigiría que e+a2=a\frac{e+a}{2}=a para todo a,a, es decir, que e=a,e=a, lo cual es imposible para un ee fijo. Por tanto, solo II\mathrm{II} y IV\mathrm{IV} se cumplen siempre.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let a∗b=a+b2.a*b=\frac{a+b}{2}. Commutativity is immediate. Also a+(b∗c)=2a+b+c2=(a+b)∗(a+c). \begin{aligned} a+(b*c) &=\frac{2a+b+c}{2}\\ &=(a+b)*(a+c). \end{aligned} so addition distributes over averaging.

Associativity fails because (a∗b)∗c=a+b+2c4,a∗(b∗c)=2a+b+c4. \begin{aligned} (a*b)*c&=\frac{a+b+2c}{4},\\ a*(b*c)&=\frac{2a+b+c}{4}. \end{aligned} Averaging does not distribute over addition since generally a∗(b+c)≠(a∗b)+(a∗c). a*(b+c)\ne(a*b)+(a*c). Finally, an identity ee would require e+a2=a\frac{e+a}{2}=a for every a,a, or e=a,e=a, which is impossible for a fixed e.e. Thus only II\mathrm{II} and IV\mathrm{IV} always hold.

Therefore, the correct answer is D.

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