Question

Dos triángulos congruentes de $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ se colocan de modo que se superponen parcialmente y sus hipotenusas coinciden. Si la hipotenusa de cada triángulo mide $12,$ el área común a ambos triángulos es

Two congruent $30^\circ$ - $60^\circ$ - $90^\circ$ triangles are placed so that they overlap partly and their hypotenuses coincide. If the hypotenuse of each triangle is $12,$ the area common to both triangles is

$6\sqrt3$

$8\sqrt3$

$9\sqrt3$

$12\sqrt3$

$24$

Respuesta: D

Conceptos:triángulo rectángulo especial geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Coloca la hipotenusa común sobre el eje $x$ e intercambia el extremo que tiene el ángulo de $30^\circ$

Place the common hypotenuse on the $x$ -axis and reverse which endpoint has the $30^\circ$ angle

Pista grande:

La frontera superior de la superposición consta de dos rectas que forman ángulos de $30^\circ$ con la hipotenusa

The upper boundary of the overlap consists of two lines making $30^\circ$ angles with the hypotenuse

Solución:

Coloca la hipotenusa común desde $A=(0,0)$ hasta $B=(12,0).$ Los terceros vértices de los triángulos son $(9,3\sqrt3)$ y $(3,3\sqrt3).$ Su región común es el triángulo de base $AB$ cuyo vértice está donde se cortan $y=\frac{x}{\sqrt3}$ y $y=\frac{12-x}{\sqrt3}$ . Esto ocurre en $x=6,$ con altura $2\sqrt3.$ Por lo tanto, el área común es $\frac12(12)(2\sqrt3)=12\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Put the common hypotenuse from $A=(0,0)$ to $B=(12,0).$ The two triangles have their third vertices at $(9,3\sqrt3)$ and $(3,3\sqrt3).$ Their common region is the triangle with base $AB$ and apex where $y=\frac{x}{\sqrt3}$ and $y=\frac{12-x}{\sqrt3}$ meet. This occurs at $x=6,$ with height $2\sqrt3.$ Hence the common area is $\frac12(12)(2\sqrt3)=12\sqrt3.$

Therefore, the correct answer is D.

1973 AMC 12 Problema 4

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 4 en otros años